|
у
=
s/R2 - x 2,
0
< x < R
boMadi.
Bundan у = — .
x
Demak (3) formulaga ko‘ra
yJR2- x 2
1
я
I
7
R
R
= [\Д +
--
2dx=
f i
dx = /?arcsin —
4
J j
R2-x2
R
Shunday qilib, aylana uzunligi
s = 2
k
R
ga teng.
4.2. Parametrik ko‘rinishda berilgan yoy uzunligini hisoblash.
Egri chiziq tenglamasi parametnk ko'rinishda berilgan boMsin:
x = x(t), y = y(t), te
bu yerda
x(t), y(t) -
uzluksiz hosilaga ega va
da * ’( 0 * 0 .
(3) formuladan foydalanish uchun awal o‘zgaruvchini almashtiramiz.
x =
x(t), dx
=
x(t)dt,
Ух =
у/, Ц
. и holda
313
■I.
1 +
Г >
Y
У,
У (
t ) d t
\At J
yoki
f, _____________________
s = \ y lW )2 + (J(t))2dt.
(4)
h
[
x = a(t-s\nt),
,
,
•
, • •
12.10-misol
<
0 < t< 2 n
sikloida
arkasi
uzunligini
[.y = a(l-cosf)
hisoblang.
In '
In '_____________
Yechish s =
J
^ a 2(I-cast)2 + a 2 sin2 tdt = a
J
^2(\-cos t)dt
=
2?
I
" Г
2r
t
t
- a
f ,/4sin
2 —dt
= 2a f
sin—dt =-4acos —
П
2
J
2
2
D
2д
= 8«.
4.3. Qutb koordinatalar sistemasida yoy uzunligi
Egri chiziq qutb
koordinatalar sistemasida
r
= r(
[a,/?] tenglama bilan berilgan bo‘lsin.
r{
)
va /($>) lami [«,/?] da uzluksiz deb faraz qilamiz. Bu chiziqni parametrik
ko'rinishda yozamiz:
f
x = r(
,
\y = r(
x
va
у
dan
(p
bo'yicha hosilalami hisoblaymiz:
=// cos^-/'sin<^||
Ур = r'sin^ + rcos<^|
Demak,
| = > ( ^ ) 2+(X>)2= ',2+('/)2.
s-\yjr2
+
(t/)2d
(5)
a
12.11-misol. /" = fl(l + COS
314
Yechish. Burchak 0 dan
n
gacha o'zgarganda izlanayotgan yoyning yarimini
hosil qilamiz. (5) dan foydalanamiz:
r'
=
—asincp,
r 2 + ( r ') 2 = a 2( 1 +
coscp
) 2 + a 2 sin2
cp
= 2a2( l + cos
л
n
s = 2
>Jr2
+ (
[r')2d(p = 4a
I c o s ^ d
8asin-\
= 8a.
J
./
2
2 ‘o
о
о
*
4.4. Yoy differensiali Yoy uzunligi
s =
+
formulasida
a
integrallashning quyi chegarasi o'zgarmas, yuqori chegarasi esa o'zgaruvchi deb
faraz qilaylik. Yuqon chegarani
x
bilan integrallash o'zgaruvchisini
t
bilan
belgilaylik. Bu holda yoy uzunligi yuqori chegaraning funksiyasi bo‘ladi:
X
_
_______________
*{*) = № +i f
a
Yuqori chegarasi o'zgaruvchi boMgan aniq integrating hosilasi haqidagi
teoremaga ko‘ra
s(x)
funksiya differensiallanuvchi, uning hosilasi quyidagi formula
bilan aniqlanadi:
f'( x ) = >/l + ( / ( x ) ) 2 .
Bundan yoy differensiali uchun quyidagi formulani hosil qilamiz:
ds
=
s\x)dx
=
ф
+
(f(x )fd x .
Demak, yoy differensiali yordamida yoy uzunligini hisoblash uchun ushbu
b
s
= Jds formulani hosil qilishimiz mumkin.
a
i dy
Agar
у = —
ekanligini e’tiborga olsak,
dx
)2dx =
ya’ni
ds2 =dx2 +dy2
(Pifagor teoremasining analogi) hosil boMadi.
315
5-§. Aylanma sirt yuzini hisoblash
Aytaylik, / ( * ) funksiya
[a\b\
kesmada aniqlangan, nomanfiy, va uzluksiz
hosilaga ega bo‘lsin. Uning grafigi bo'lgan
AB
egri chiziqni
Ox
o'qi atrofida
aylantirish natijasida aylanma sirt hosil bo'ladi (76-rasm). Shu sirtning yuzini aniq
integral yordamida aniqlaymiz. Buning uchun
\p\b\
ning biror bo'linishini olamiz:
a
=
jc
0
<
jc
,
<... <
хы < xk <
... <
xn
=
b
.
Bo'linish nuqtalandan
Oy
o'qqa paralel to'g'ri chiziqlarni o'tkazib, ulami
AB
yoygacha davom ettiramiz. Buning natijasida
AB
yoy ham
Nk(xkj(xk))
nuqtalar
yordamida
n
ta bo'lakka bo'linadi. Endi
A=No, Ni, ...,Nn=B
nuqtalami ketma-ket
tutashtinb, siniq egri chiziq hosil qilamiz.
AB
yoyni
Ox
o'qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo'ladigan aylanma
sirtning yuzi deb siniq chiziqni
Ox
o'qi atrofida aylantirishdan hosil bo'ladigan sirt
yuzining
Nk-iNk
vatarlar eng kattasining uzunligi nolga intilgandagi limitini qabul
qilamiz.
Ma'lumki,
| ^ ,^ | =
)2
+
( f ( X k
) -
f { x k_x
))2
316
vatar uzunligi nolga intilganda
—>0 va aksincha. Shuning uchun kelgusida
limitni
A = max Ax.
—» 0
I i h , n
*
uchun ко rib о tamiz.
Nk-iNk
vatami
Ox
o‘qi atrofida aylantirganda kesik konus sirti
hosil boMadi va uning yuzi
=
|
Shu tarzda hosil qilingan yuzlaming
n
tasini qo'shsak, siniq chiziq yordamida
hosil qilingan sirt yuzi
P„
kelib chiqadi:
p~= 2* Z /(дг>-')+
f (x,)
ык.
ч = к Л |.
Uni boshqacha ko'rinishda yozish mumkin:
P. = 2
n
±
_
2
,
J
_
4 ) ,
ь*1
t=i
2
bunda Л-У* mos ravishda A'*.; va A/* nuqtalar orasidagi yoy uzunligi.
Ma’lumki, A*,.—>0 da As* —>0 Shuningdek,
--^Xk~x
^ ^ ^ ^ boMinma
2
/С * м ) va
f{x k)
lar orasidagi son bo'lib,
f(x)
funksiya uzluksiz boMganidan,
shunday
%ке
mayjudki,
boMadi. M = max/(x) deb belgilaylik. А-» 0 da
P„
ning tarkibidagi ikkinchi
qo'shiluvchi
- U k) = 2 x ± A 4 t )(Ast -Alk) z
*=>
Z
t= l
£ 2 n M ^ { b s k- Ык) = 2 я м [ '^ Ь зк-У\А1к
1—> 0,
b=I
I Jt=l
fc=l
I
chunki
J fm £ 4/, = £ > , = £
t=l
*=1
317
(yuqoridagi shartlarda/l£ yoyning to'g'rilanuvchiligi nazarda tutilgan).
Demak,
-
r
lim/J„ = 2
л
lim j]
= 2л
J
f(x)ds
A_f0
л-л *=i
„
bo'ladi, ya’ni aylanma sirtning yuzi
Ь
Ь
____________
S = 2
я
J
f(x)ds = 2n j /{ х )ф + f{ x )2dx
a
a
formula bilan ifodalanadi.
Agar to‘g‘rilanuvchi yoy tenglamasi
^ ^ (flf < / < / ? ) parametrik
ko‘rinishda berilgan bo'lib,
(p{t)
va ^ ( 0 lar uzluksiz hosilalarga ega boMsa, u
holda sirtning yuzi
p
_
____________
S = 2л j yr(t)y]
t)2 dt
boMadi. Shunga o'xshash, agar egri chiziq
r-f{d\ a< 0 < p
tenglama bilan berilgan boMib,
f(0)
uzluksiz funksiya bo'lsa,
formulani keltirib chiqaramiz.
12.12-misol Radiusi
R
bo'lgan sfera sirtimng yuzini toping.
Yechish I usul. Aylana tenglamasi parametrik ko'rinishda quyidagicha
yoziladi:
[
x= Rcost,
\y = Rsint, 0 < t^ 2 it
chorak aylanani
Ox
o'qi atrofida aylantirish natijasida yarim sfera hosil bo'ladi. Bu
holda 0
< t< —
bo'ladi, shuninguchun
2
318
Demak,
S = 4ftR2.
П usul. Qutb koordinatalar sistemasida aylana tenglamasi
r = R, 0< в < 2 л .
Shuning uchun
—
£
S
С
r~
2
— = 2>rj
R sin e jR 2 + O2d0 = 2nR2
Jsin6W0
= 27rR2, S = 4лR 2.
0
0
Mashq va masalalar
12-25.
R
radiusli shar hajmini toping.
12-26. Asosining radiusi
R
va balandligi
H
boMgan konus hajmini toping.
12-27.2 =
x2
parabolik silindar va у = 0,y =
6,z =
1 tekisliklar bilan
chegaralangan jism hajmini toping.
12-28. z = 1 — у 2 parabolik silindar va у = 0, z = 0,x = 0, x = 12
tekisliklar bilan chegaralangan jism hajmini toping.
12-29. z =
x2
+ y2 paraboloid va z = 4 tekislik bilan chegaralangan
jism hajmini toping.
12-30.
x2 + y2 +
4z2 < 4 ellipsoid hajmini toping.
12-31.
Do'stlaringiz bilan baham: |
