T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

§ dagi (10) formulaga qo'yib
v  
v 2 
v ” 
v ”+1
г  
л 
X  
X  
X  
X
 
Ли
e 
=1
 +—+ —  + ...+— +----- e 
m
1
/ 
2
/ 
n!  (n + \)! 
y )
178

---

38-rasmda  J (x )- e x  funksiya  va  Рз(х)  ko'phad  funksiyaning  grafiklari 
keltirilgan.
bu yerda 0«9<1, formulaga ega bo'lamiz.
38-rasm
2.  Sinus  funksiya  uchun  Makloren  formulasi. 
f(x)=sinx  funksiyaning 
istalgan tartibli hosilasi  mavjud va w-tartibli hosila uchun quyidagi  formula o'rinli
edi (V.
8
-§):  f (n)(x ) = sin(x+ ~ ) .   *=
0
d a /
0)=0
  va
/ w (
0
) = sin — = 
1
°'  ^
  П = 2к'
2 
[(-l)*,  agar  п = 2к + \
Shuning uchun 3-§ dagi (
10
) formulaga ko'ra
X* 
l
 
jc
2**1
 
х ^ +э 
^-t-3
sinx = x - —• + ... +(-
1
)* — -- -  + 
- 7
--- sin(
0
x + — —  ;r), 
0
<# < 
1
3! 
(2A: + 1)!  (2k + 3)! 
2
(5) ko'rinishdagi yoyilmaga ega bo'lamiz.
179

---

39-rasm
39-rasmda/fxj=s/n.r, Рз(х), Рз(х) funksiyalaming grafiklari keltirilgan.
4.3.  Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi. 
Ma’ lumki, f(x) =cosx
funksiyaning л-tartibli hosilasi uchun  f (x ) = cos(x + — )  formulaga egamiz
П
7
Г  f. 
agar  n = 2k +1,
(V.8-§). x=0 da Д0)=1  va  / (и)(0) = со5—  =
2 
|(—1)*,  agar  n — 2k 
Demak, cosx  funksiya uchun quyidagi formula o'rinli:
2 
4 
6 
2it 
2 к+2
cosx = 1 — ——h ——  ——
+ (— 1)* —— I— ---- cos(0x + /r;r),  O<0<\  (6)
2! 
4! 
6! 
2Аг!  (2A: + 2)!
40-rasmda/('x) =cosx,  P?(x), P4(x) funksiyalaming grafiklari keltirilgan.
40-rasm
180

---

4А./(х)=(1+х/* (//в 
R) 
funksiya uchun Makloren formulasi. 
Bu funksiya 
(-1; 1)  intervalda  aniqlangan  va cheksiz  marta differensiallanuvchi.  Uni  Makloren 
formulasiga yoyish uchun f(x)=(l+ x/‘ funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz.
f ( x ) = н а +* r x, 
г м
= н (н  - v o + x f- 2
,
Г ” (х )= н (Н - у (И - 2 )(\  + х ) ^
Г * * (х ) = ц (ц-\ )...(ц -п + i)(\ + х Г " . 
(7)
Ravshanki,  f(0 )= l,  / п)(0)=ц(ц-1)-..(ц-п+1).  Shuning  uchun  f(x)=(l+ x/1 
funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
2
! 
n\
+ -^  
I f   n\\
 + 0xY~"~]xr+l  (0 
(8)
(w + 1)! 
’
4.5. 
f(x)=ln(l+x) 
funksiya  uchun  Makloren  formulasi.  Bu  funksiyaning 
(-l;oo)  intervalda  aniqlangan  va  istalgan  tartibli  hosilasi  mavjud.  Haqiqatan  ham, 
f\x) = (ln(l + x)/ = (1 + x)"1 funksiyasiga 
(7) 
formulani qo41ab, undaц=-\  deb 
n 
ni
w-1  bilan almashtirsak,  / ln)(x) = -—\
formulani hosil qilamiz.
С1 + x)
Ravshanki,  f(0)=0.  f n}(0)=(-l)n l(n-l)\  Shuni  e’tiborga  olib,  berilgan 
funksiyaning Makloren formulasini yozamiz:
i n ( i +
x ) = x ~
+
~
; +L z Vn 
x~l 
o<& < i  (9)
2 
3 
4 
n 
(n + \) (\+вх)
Yuqori da keltirilgan  asosiy elementar funksiyalaming Makloren formulalari 
boshqa  funksiyalami  Teylor  formulasiga  yoyishda  foydalaniladi.  Shunga  doir 
misollar ko‘ramiz.
7.18-misol. 
Ushbu f(x)=e~3x funksiya uchun Makloren formulasini yozing.
Yechish. 
Bu  funksiyaning  Makloren  formulasini  yozish  uchun  f(0), 
f '( 0 ) ,..J n,(0)  lami topib,  3-§ dagi (10) formuladan foydalanish mumkin edi.  Lekin 
f(x)=e*  funksiyaning  yoyilmasidan  foydalanish  ham  mumkin.  Buning  uchun  (1) 
formuladagi x ni -3x ga almashtiramiz, natijada
181

---

_3х  .  Зх  9х- 
3"х"  (-Ъх),м  _3&
е 
1 ~77 +
— Г +  /   i n   е 
•  о<б><1,
1/ 
2/ 
п! 
(п + \)!
formulaga ega boMamiz.
7-19-
misol. 
Ushbuf(x) =lnx funksiyani x0= 1 nuqta atrofida Teylor formulasini
yozing.
Yechish. 
Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(l+x) 
funksiya  uchun  olingan  (9)  asosiy  yoyilmadan  foydalanamiz.  Unda  x  ni  x-\  ga 
almashtiramiz, natijada lnx~ln((x~ 1)+1) va
(Х ~1 Г ' м 1, 0 < в<1
2 
n 
(n + \)  (\+в(х-\))"*у
formulaga ega boMamiz.  Bu formula x-l>-l  boMganda, ya’ni x>0 larda o'rinli.