|
) " 3
= -6(x + a )"4.
Matematik induksiya metodi bilan
u(") = (—l ) n n! (x + a
)-n_1
(
8
)
Shunday qilib, (7) va (8) tengliklardan foydalanib quyidagi
yin) = - 7.
(
x -
2
)-n-i +
9
.(—i ) n.n ! (x -
3 ) -n -1
= ( - l) n n' ( -- -------- --- )
L
; пЛ ( х - 3 ) "
Сx - 2 ) n)
natijaga erishamiz.
5.29-xossa
Agar u(x) va
v(x)
funksiyalar я-tartibli hosilalarga ega bo'lsa, u
holda bu ikki funksiya ko'paytmasining
n
-tartibli hosilasi uchun
149
(uv)(n) =
U^V
+
C^u^n~^v'
+
C%'u(n~2)v"
+ --h
Cku^n~k^ v ^
+ •••
+ C£“ V
v^-V+uvW
(9)
formula o'rinli bo‘ladi. Bunda C,i =
(~
n~A:+1)
”
kl
Isbot. 0 Matematik induksiya metodini qoMlaymiz. M a’lumki, (
uv
)' =
u'v
+
uv'.
Buesan = 1 boMganda (9) formulaning to‘g‘riligini ko'rsatadi. Shuning
uchun (9) formulani ixtiyoriy
n
uchun o‘rinli deb olib, uning n + 1 uchun ham
to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. (9) ni differensiyalaymiz:
(ш;)(п+1) = u^n+1)
v
+ u+ C ' u ^ V ' +
C ^ - ^ v "
+
C2u ^ v ' " +
- + CnV n-k+1M*> +
Cku ^ v ^ +
- +
V ' " (n_1) +
Cn-V y (n) + u .v(") +
uv(n+
1)
(10)
Ushbu
1 + c ; = 1 + n = C 'tl, C'+C„2U = „ + natli =
= c„2+1
,
rk
- 1
.
"C™ ~ ! ) - ( n + 2 - fc)
n ( n - 1 ) ...
( n - k + 1)
n
"
( F T i j l
+
Ш--------
_ (n + l ) n ...
(n + l - ( k -
1))
rk
k\
“ Cn+1
tengliklardan foydalanib, (10) ni quyidagicha yozamiz:
(ut?)(n+1> = u (n+1b +
C*+1uW v'
+
CZ+1u(n~Vv"
+ - +
Ck+1u ^ +1~k^vw
H--- 1- UVCn+1>
Demak, (9) formula n + 1 uchun ham o‘rinli ekan. Isbot etilgan (9) formula
Leybnits fomiulasi
deb ataladi. ♦
530-misol.
у
=
x3ex
funksiyaning 20-tartibli hosilasini toping.
Yechish. u =
ex
va
v = x3
deb olsak, Leybnits formulasiga ko‘ra
y (
20
) =
Хз(еху
20) + С
10
(д,зу(**)<19) + C
220
(x
3
)"(e * )(i
8
) +
С!о(х3У "(ехУ 17) + Cl0(x3)W (ex) M +
... + (*з)(
20
)е* boMadj
(хзу
=
3 * 2
(x3)" = 6x, (л:3)"' = 6, (x 3) (4) = 0 tengliklami va
у = x3
funksiyaning hamma
keyingi hosilalarming 0 gatengligini, shuningdek Vn uchun (e*)(n) =
ex
ekanligini
e’tiborga olsak,
150
у ( 2 0 )
= еХ(х г
+ з с 210 д , 2 +
6 C 2qX
+ 6 С | 0 t e n g l i k h o s i l b o 4 a d i
Endi koeffitsientlami hisoblaymiz:
/-1
_
7n
r 2
_
20-19
_
3
20-19-18
20-19-18
l
20 - zu, C20 - — - 190, C20 = — -— = — -— = 1 140
A
3!
3!
Demak,
У (2°) =
ex(x
3 + 6 0 x 2 + 1 1 4 0 x + 6 8 4 0 ).
Mashq va masalalar
Logarifmik hosiladan foydalanib, hosilani hisoblang (79-91):
5-79. у =
Xarct9x.
5-80. у =
(x2
+ 1 ) ^
5-81. у =
5_82 у = — r'-v^ rrU
•
У
(лг2+4)3-\/*—6
5-83. у =
3х ■
x5 • six4 + x
5-84. / ( t ) =
t^~t
Ko‘rsatilgan tartibli hosilalami toping (79-87):
5-85. у =
In cosx, y"
=?
5-86. у =
sin2 x,y"
=?
5-87. у = 5* у" =?
5-88. у = —
,y " =?
17
4JC—1
5-89./ ( * ) = x e * ,/"'(x ) =?
5-90. r(tf) = cos tf, r ^ C f l )
5-91. у =
Inx,у ^
=?
151
VI BOB. DIFFERENSIAL
l-§. Differensiallanuvchi funksiya. Differensiallanuvchi boMishining zaruriy
va yetarli sharti
Aytaylik, y = /(x ) funksiya (a,
b)
oraliqda aniqlangan va x0 6 (a,
b)
boMsin.
6.1-ta’rif. Agar
f(x)
funksiyaning
x0
nuqtadagi Ду orttirmasini
Ay =
A-Ах
-I- а(Д
x)Ax
(1)
ko‘nmshda yozish mumkin boMsa, bu funksiya
x
= x0 nuqtada
differensiallanuvchi
fimksiya
deyiladi. Bunda
A — Ax
ga bog'liq bo‘lmagan biror o‘zgarmas son, а(Дх)
esa Дд:^>0 da cheksiz kichik funksiya, ya m lim
a(Ax
) = 0.
Дх-*0
у =
kx
+
b
chiziqli funksiyani qaraylik. Uning uchun Ду =
kAx
tenglik
o‘rinli, ya’ni funksiya orttirmasi argument orttirmasiga tobg‘ri proporsional.
Tarifdagi Ду =
A-Ax
+
a{Ax)Ax
tenglik esa funksiya orttirmasi argument
orttirmasiga «deyarli to‘g‘ri proporsional»ligini bildiradi, ya’ni
Ay
«
AAx.
Bu
tenglik |Длг| qanchalik kichik boMsa, shunchalik aniqroq boMadi. Geometrik nuqtai
nazardan funksiyaning
x
nuqtada differensiallanuvchi boMishi funksiya grafigi
x
nuqtaning yetarlicha kichik atrofida biror novertikal to‘g‘ri chiziq, ya’ni biror
chiziqli funksiya grafigi bilan «qo‘shilib» ketishini anglatadi. Shunday qilib,
geometrik nuqtai nazardan funksiyaning
x
nuqtada differensiallanuvchi boMishi
funksiya grafigjni
x
nuqtaning yetarlicha kichik atrofida «to‘g‘rilash» mumkinligini
anglatadi.
Masalan, 32-rasmda у =
x2
funksiya grafigini
x0 =
1 nuqta atrofida у =
2x —
1 tokg‘ri chiziq grafigi bilan «qo‘shiIib» ketishi ko‘rsatilgan.
152
ЗЗ-rasmdan у = |x| funksiyani x = 0 nuqtada differensiallanuvchi emasligi
kelib chiqadi, bu funksiya grafigini x = 0 nuqtaning hech bir atrofida «to‘g‘rilab»
bo‘lmaydi.
О
32-rasm
3 3-rasm
6.2-teorema. /(x ) funksiya x =
x0
nuqtada differensiallanuvchi boMishi
uchun uning shu nuqtada chekli
f'(x
0) hosilasi mavjud boMishi zarur va yetarlidir.
Isbot 0
Zaruriyligi.
Funksiya x = x0 nuqtada differensiallanuvchi boMsin. U
holda funksiyaning orttirmasini (1) ko‘rinishda yozish mumkin. Undan Дх
Ф
0 da
=
A + a (Ax)
ni yozish mumkin. Bundan Дх-^O da lim — =
A,
demak x
ax
д*-*о Д*
nuqtada hosila mavjud va
f'(x)
=
A
ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi.
Chekli
f'(x0)
hosila mavjud boMsin, ya’ni lim — =
f'(xA
U
Дх-»0Д*
‘
v u/
holda ^ = /'(x o) + а(Дх), bu yerda а(Дх) Дх-Х) da cheksiz kichik funksiya.
Demak,
Ду =
f\xQ)Ax
+ а(Дх)Дх
(2)
yoki Ду = Л-Дх + а(Дх)Дх, bu yerda
A
= /'(x 0). Shunday qilib x = x0 nuqtada
/ (x ) funksiya differensiallanuvchi va
A = f'(xQ)
ekan. ♦
Bu teorema bir o‘zgaruvchili funksiya uchun differensiallanuvchi boMish
hosilaning mavjud boMishiga teng kuchli ekanligini anglatadi. Shu sababli hosilani
153
topish amali funksiyani
differensiallash,
matematik analizning hosila o‘rganiladigan
bo'limi
differential hisob
deb ataladi.
Shunday qilib, avvalgi 1-ta’rif bilan ekvivalent bo'lgan ushbu ta’rifhi ham
bensh mumkin:
6.3-ta’rif.
Agar
Do'stlaringiz bilan baham: |
