T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

6
-§. Asosiy elementar funksiyalaming hosilalari
6.1. 
у 
= x?  (x
 > 
0
)  darajali  funksiyaning  hosilasi. 
Bu  funksiyaning 
x 
nuqtadagi  orttirmasi  Ду = 
(x
 + 
AxY
 — 
= 
x*1
 ( l  + 
- 1  ga  teng  va  ^  = 
(i+—)д-1
xli~l
-- ----   bo'ladi.  MaMumki,  lim  ('1+—— - = /x.  Shuning uchun lim  — =
—  
x-*0 
x 
Ax-*0
  Дх
/ ( l + ^ ) M- l  
\
И т о
x^~l
 ■
 I -- ^ ---j  = 
цх>х~1.
  Bundan  funksiyaning 
x
  nuqtadagi  hosilasi
mavjud vay'  = 
цх**~г
  bo'ladi.
Demak, (
x
= цх^~1
 formula o'rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini  hisoblash formulasini  foydalangan holda, 
(u(x))^  ko'rimshdagi  murakkab  funksiya  uchun  quyidagi  formulani  yozish 
mumkin:
137

---

( ( m ( x ) ) ^ ) > ( u ( x
) ) m _ 1
  - u ' ( x ) .
Masalan, 
у
  =  (
x2
  +  l ) 3  funksiyaning  hosilasini  topish  talab  qilinsin.  Bu 
misolda 
u(x
)  = 
(x2
 + 1), 
ц =
 3.  Demak, yuqoridagi formulaga ko'ra
y' = 3(x2 
+
 l ) 2 ((x 2 +  1)' =  3((x2 + l ) 2-2x = 6x(x2  + l ) 2
6.2.  Ko'rsatkichli  funksiyaning  hosilasi. 
у 
= 
ax  ( а > 0 ,а Ф 1 )
ko'rsatkichli funksiya uchun Ду =  а*+д* 
— ax = ax(
— 1) va  — =
Ax 
Ax
д 
А 
X
 
^ ^ 
a
 
I
Ma’lumki,  lim  ——  = /па.  Shuning  uchun 
lim — -lim  ci
x-— —  =
A * " *  
* *  
Дх—>0  Д  с 
A x—»o 
Д х
=aK
lna
 mavjud.  Demak 
(ax) = axlna,
 xususan, (ex)' 
= 
ex
 
formulalar o‘rinli ekan.
Ko'rinib turibdiki, у =  ex
 
funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o‘ziga 
teng ekan.
а и(дг) 
(a
 > 0, 
а 
Ф
 
1)  funksiya  uchun  quyidagi  formulalaming  o‘nnli 
boMishini 
ko'rish 
qiyin 
emas: 
(a11^ ) '  = 
au^
  ■
 u'(x) • 
Lna. 
Masalan, (З5*-3)' =  З5дг“ 3 • (5x — 3)r • 
1пЗ
  =  
5 
■
 
З5х~3
 • 
1пЗ
6.3. у
 
= 
1одах (а
 
> О, 
а
 
Ф 1,х 
> 0)  logarifmik  funksiyaning  hosilasi. 
Bu  funksiya 
x
 = 
ay
  funksiyaga  nisbatan  teskari  funksiya  boMgani  uchun  teskari 
funksiyaning  hosilasini  topish  qoidasiga  ko‘ra  у
i
  =
  - V   =   —
- —
  =   —
—
,  ya’ni
Ху 
аУ1па 
xlna 
J
(loga 
ХУ ~
 
Xususan, (
Inx)' = ^
 formula o‘rinli.
loga 
u(x)
 funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli: (loga u (x ))' = 
.
6.4. Trigonometrik funksiyalaming hosilalari.
1) 
у = 
sinx
 
funksiyaning hosilasi. 
Funksiyaning 
x
  nuqtadagi  orttirmasini 
sinuslar ayirmasi formulasidan foydalanib topamiz:
Ду = sin(x + Дх) — 
sinx
  = 2 sin —  cos ^x +
sin—
Funksiya  orttirmasining  argument  orttirmasiga  nisbati  ^  = —
ef
*-cos (x +
T
Ду\
ga teng.  Bu tenglikda birinchi ajoyib limit va 
cosx
 funksiyaning uzluksizligini
138

---

sin— 
Ax\
e’tiborga  olgan  holda  limitga  o'tsak,  lim  — =  lim 
r; - •  lim cos(x + — j  =
°  
b  
О
’ 
Л х _ >0  & x  
& x _ tQ 
a x  
& x ^ 0  
у  
2
  J
2
cosx
 bo'ladi.
Demak, 
(sinx)'
 =  
cosx
 formula o'rinli.
2)
 у = cosx 
funksiyaning hosilasi. 
Bu funksiyaning hosilasini topish uchun 
cosx
  = 
sin(x
 + 
я/2)
  ayniyat  va  murakkab  funksiyaning  hosilasini  topish 
qoidasidan foydalanamiz. U holda
(cosx)' = (sin(x
 + 
я/2))'
 =  
cos(x
 + 
я/2)- (x
 + 
я/2)' = cos(x
 + 
я/
2 )1   = 
cos( x
 + 
я/2).
cos(x
 + 
я/2)
 =  
—sinx
  ayniyatni  e'tiborga  olsak,  quyidagi  formulalarning 
o'rinli ekanligi kelib chiqadi: 
(cosx)' = —sinx.
3)
 
У 
= 
tgx 
va 
у 
= 
ctgx 
funksiyalaming  hosilalari 
Bu  funksiyalaming 
hosilalarini topish uchun bo'linmaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz:
(tgx)'  =  С - Щ '
  =  
= - L - .
\cosxJ  
coszx 
coszx
Xuddi  shunga o'xshash 
(ctgx)' = —
 
formulani ham keltirib chiqarish 
mumkin.  Buni mashq sifatida o'quvchilarga qoldiramiz.
Trigonometrik  funksiyalaming  argumentlari 
x
  erkli  o'zgaruvchining 
u(x) 
funksiyasi bo'lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasi haqidagi teoremaga ko'ra 
quyidagi formulalar o'rinli bo'ladi:
(sinu)'
 =  
u'cosu,
  (
cosu)'
  = 
—u'sinu,
(tgu)' =
 -4-, 
(ctgu)'  =
 - - ~
°  
cos2u 
sin2u
6.5. 
Teskari 
trigonometrik  funksiyalaming 
hosilalari. 
Teskari 
funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan (5.20-teorema) foydalanib, 
у
 = 
arssinx 
(—1  < 
x
 <   1) funksiyaning hosilasini topaylik.
Bu  funksiyaga  teskari  bo'lgan 
x = siny
  funksiya  [~~;^]  da  monoton 
o'suvchi  va  ( — 
intervalda  hosilaga  ega,  hamda  bu  intervalning  har  bir
nuqtasida hosila noldan farqli: 
x'y
  = 
cosy Ф
 0. Shuning uchun 
y'x — -p-
 = 
Endi
139

---

( - 2 ; f )   mterva^ a 
cosy 
>  
0  va  bunda 
cosy
 
=   V l 
— 
sin2x
  formula  o'rinli 
bo'lganligi uchun 
y'x
  = —  1 
= 
bo'ladi.
l 
—
sm*y
 
v 
1—
x
Demak,  (
arcsinx)'
 =  -=L=, (-1  < л: <  1) formula o'rinli.
\1~хг 
'
Endi  у = 
arccosx
 (-1  < 
x
 <  1)  funksiyaning  hosilasi  uchun  formula 
keltirib  chiqaramiz.  Bu  funksiyaga  teskari  bo'lgan 
x
  = 
cosy
  funksiya 
[0,л]
  da 
monoton  kamayuvchi,  (0;я)  da  hosilaga  ega  bo'lib,  bu  intervalning  har  bir 
nuqtasida  noldan  farqli 
x'y
  = 
—siny
  hosilaga  ega.  Demak,  teskari  funksiyaning 
hosilasi  haqidagi  teorema shartlari  o'rinli.  Shu sababli  5-§  dagi  (4)  ga ko'ra 
x'y  =
c o s y  
У*  = ^ , = ~ 7 ^   =
  ~ V i
-cos*x
  =   “ Т г Ы   ham   ° ‘rin,i  b o ‘ ladl 
yerda
(0; 
n
) da 
siny —
 V l — 
cos2x
 ekanligidan foydalandik).
Shunday qilib, 
(arccosx)'
 =   —
( -1 <  x <  1) formula o'rinli ekan.
л/1 — 
x
Ma’lumki, 
у = arctgx
  funksiyaning  qiymatlar  to'plami 
intervaldan iborat.  Shu intervalda unga teskari bo'lgan 
x = tgy
 funksiya mavjud va 
bu  funksiyaning  hosilasi 
x'y
  = — 
noldan  farqli.  Teskari  funksiyaning hosilasi 
haqidagi teoremadan foydalansak,
Ух 
xy 
(tgyУ ~ cos  y ~
 
1
 + 
tg2y ~
  1 
+ x2
bo'ladi.
Demak, quyidagi formula o'rinli.
(arctgx)' = -
---
Y .
1 + x
Xuddi yuqoridagi kabi 
y=arcctgx
 funksiya uchun
(arcctgx)'
 = --- —-
l + x
formulaning o'rinli ekanligini ko'rsatish mumkin.
140

---

Teskari  trigonometrik  funksiyalaming  argumentlari 
x
 erkli  o'zgaruvchining 
u(x)
 funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan 
quyidagi  formulalar kelib chiqadi:
(arcsinu(;*:))' =  
U
J X^
 
(arccosif(x))'  =  —  
u
л/l 
- “ -(x) 
J l- u 2(x)
(arctgu(x))'
 =  
;  (
arcctgu(x
))' = 
-  -
1 
+ ul (xj
 
1 
+ u ( x )
Mashq va masalalar
5-20  Matematik induksiya prinsipidan foydalanib, 5.12-natijani isbotlang.
5-21. 
Chekli 
sondagi 
differensiallanuvchi 
funksiyalar 
chiziqli 
kombinatsiyasining hosilasi hosilalaming aynan shunday chiziqli kombinatsiyasiga 
teng, ya’ni agar/00  = 
cxux(x)
 + 
c2u2(x)+... + cniin(x)
 boMsa, uholda 
f'(x
)  = 
c1u[(x) +  c2u2(x)+...
 + 
cnu’n(x).
 Isbotlang.
5-22.  5.15-natijani isbotlang.
5-23  Ikki  funksiya  yig‘indisi,  ayirmasi,  ko‘paytmasi  va  msbatidan  iborat 
bo‘lgan funksiyaning hosilaga ega boMishidan bu funksiyalaming har biri hosilaga 
ega  boMishi  har  doim  kelib  chiqavermaydi.  Shu  fikrlami  asoslovchi  misollar 
keltiring.
5-24 
xQ
 nuqtada hosilaga ega boMgan 
f(g(x))
 murakkab funksiyaga misol 
keltiringki:
a) / '( # ( * o)) mavjud, 
g(x
0) mavjud boMmasin;
b) 
f{ g (x
„)) mavjud emas, 
g(x0)
 mavjud boMsin;
c) 
f'(g (x
o)) mavjud emas, 
g(x0)
 mavjud emas.
5-25. Quyidagi tasdiqlami isbotlang yoki mkor qiling:
a)  differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi juft boMishi uchun 
funksiyaning toq boMishi yetarli;
b) differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi juft boMishi uchun 
funksiyaning toq boMishi zarur;
141

---

c)  differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi toq bo'lishi uchun 
funksiyaning juft bo'lishi yetarli;
d) differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi toq bo'lishi uchun funksiyaning 
juft bo'lishi zarur.
Funksiyalaming hosilalarini toping (26-44):
5-26. у 
+
 
5
.
27
. 
y =  10x6- i+ 3 V Z
5-28. у  =   2
ctgx
 -  3
sinx.
 
5-29. у  = 
arctgx
  +  7  ■
  e*
5-30.у  =  1 9 * - 8
arcsinx.
 
5-31. у  =  
(x2  -
  l)(x 3  + x).
5-32. 

 —   4
arccosa
 + 14
Va
5-33. 
f( i)
  = 
5-34. у  =  3
sin2x — Igx
  +  3
cos2x
5-37. у 
=(±)X--L
 + 
4
* 
5-38 у = 
~ +lnx
3 
\г)
 
з*  T 
J 
У 
ex_Lnx
5-39. у = 
(x
 +  l)(x   + 
2)(x  +
  3).
5-40. у  = 
(x2
 -  l ) ( x 2 -  3)(x2 -  5).
5-41. 
m
 
5-41 у  = - f -
*  +4 
7 
x4+2
5-43.y  =  V ^ (* 5 + V ^ -  2) 
5-44. 
у =  ^  - Vx ’ Inx5.
Berilgan funksiyaning * 0 nuqtadagi hosilasini toping (45-48):
5’45-
 
f M = ^ ' xo = 1-
5-46. 
f(x)
  =  4д:  + 
Ь\[х,х0
  =   8.
5-47 ./(* )  = 
x2
  + 
3sinx
 — 
тсх,хп  =-.
2
5-48./(x)  =   e*+1 • (4* -  5),  x0  = 
In
 2.
Funksiyaning hosilasini toping (49-77):
5-49. у  =  10*2+1. 
5-50. у = 
tgAx
5-51. у  =   c/i4|  
5-52. у  =  ln(5x3 - x).
5-53. у  =   cos4 
jc
 —   sin4 x.  5-54. у  = V4 — 7x2.
5-55. у — 
у Г +ctgTox
 
5-56. у  =  
(sin3x  —  cos3x)2.
5-57. x  =  
ln*sin3t.
 
5-58./(/i)  =  
arctg yfh.
142

---

1 
-  -- 
sin x
5-59. 
у  =
-- :—  
5-60. 
у  
=
arcsin х 
* 
l+ tgx
5-61. 
у 
= 
5-62. 
у  
=  
sh(ln(tg2x)).
5-63. 
у  
=  
xarcsinx
  + V l - x 2.  5-64. 
у  
=   3sin3
*x+*sin