Т. А. Сливина математическая логика и теория алгоритмов

Определение 4. Математическая теория Т называется категоричной, если все ее модели изоморфны.
Определение 5. Пусть  – мощность некоторого множества. Теория Т первого порядка называется  -категоричной, если
1) теория Т имеет хотя бы одну модель мощности .
2) всякие две модели теории Т, имеющие мощность , изоморфны.
Например, теория групп некатегорична, т.к. существуют неизоморфные группы. Однако можно говорить, что теория групп категорична в некоторых мощностях, в частности, в мощности  = 3 .
Геометрия Евклида является категоричной математической теорией. Любые ее две модели изоморфны. Действительно, нетрудно показать, что любая модель геометрии Евклида изоморфна арифметической модели.
Возьмем в данной модели прямую и на ней фиксируем точку 0, затем на этой прямой выбираем точку l, отличную от точки 0. Отрезок 0l примем за единицу. Выбирая положительное направление на прямой, получим числовую ось.
Две взаимно перпендикулярные числовые прямые (прямоугольная декартова система координат) позволяют каждой точке плоскости поставить во взаимно однозначное соответствие координаты этой точки, а каждой прямой на плоскости – уравнение этой прямой. Точно также поступаем и в другой модели геометрии Евклида на плоскости.
Установить изоморфизм между разными моделями геометрии Евклида позволяет однозначное введение аналитической геометрии.


§ 4. Проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теории
1. Проблема непротиворечивости.
Теория Т называется противоречивой (или несовместной), если она содержит такое высказывание S, что и S, и его отрицание являются теоремами. В противном случае теория Т называется непротиворечивой. Таким образом, теория Т называется непротиворечивой, если в ней нет такого высказывания S, что и S, и являются теоремами.
Так как теория Т одним из правил вывода содержит правило заключения, то в противоречивой теории любое предложение такой теории является теоремой. Действительно, для любого предложения А теории Т S ( А) есть теорема, т.к. это высказывание тавтология. Учитывая, что здесь S и – теоремы и пользуясь дважды правилом заключения, приходим к выводу, что А – теорема.
Для аксиоматических теорий вопрос об их непротиворечивости во многих случаях удается решить с помощью понятия модели. В самом деле, если теория Т противоречива, то каждая ее модель содержит противоречие, т.к. пара противоречащих друг другу теорем теории переводится в два противоречащих друг другу высказывания о модели. Значит, теория непротиворечива если для нее можно указать свободную от противоречий модель. Именно так доказывается непротиворечивость исчисления высказываний.
Если для теории Т можно найти такую интерпретацию, что интерпретацией Т является конечное множество, то вопрос об отсутствии противоречий в интерпретации решается прямым рассмотрением конечного множества. Так, одноэлементное множество, содержащее единственный элемент l, вместе с определенной на нем операцией является моделью теории групп, лишенной противоречий, и, следовательно, теория групп непротиворечива. Однако часто доказательство непротиворечивости модели требует очень сложных рассуждений. В частности, это бывает в случае, когда теория Т имеет только бесконечные модели.
Вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского можно свести к вопросу о непротиворечивости геометрии Евклида, если использовать для интерпретации геометрии Лобачевского средства геометрии Евклида, или к вопросу о непротиворечивости множества действительных чисел, если использовать соответствующую интерпретацию.
Непротиворечивость геометрии Евклида и непротиворечивость теории действительных чисел до сих пор не доказана.