Т. А. Сливина математическая логика и теория алгоритмов

3. Аффинная геометрия.
Первичными терминами этой теории являются: множество Р (элементы которого, называемые точками, будут обозначаться прописными латинскими буквами Р, Q, ...), множество L (элементы которого, называемые прямыми, будут обозначаться строчными латинскими буквами l, т, ...) и множество J, называемое отношением инцидентности.
Специальными аксиомами теории Т здесь являются формулы:
а) J  РL (< Р,l > J) читается «Р лежит на l», или « l содержит Р», или «l проходит через Р», или «Р и l инцидентны».
б) Для любых двух различных точек Р и Q существует в точности одна прямая, проходящая через Р и Q. Будем обозначать такую прямую через P + Q.
в) Для любой точки Р и любой прямой l существует в точности одна прямая m, проходящая через Р и параллельная прямой l (т.е. либо т = l, либо не существует точек, лежащих на обеих прямых l и т).
г) Если А, B, С, D, Е, и F – шесть различных точек, причем А + В параллельна С + D , С + D параллельна .Е + F, А + С параллельна В + D и С + E параллельна D + Е, то А + Е параллельна и B + F.
д) Существует три различных точки, не лежащие на одной прямой.
4. Геометрия (теория равенства отрезков).
Первичные термины: множество S – множество всех отрезков, и «=» – отношение равенства, так что выражение «х = у» читается так: «отрезок х равен отрезку у». Специальные аксиомы:
а) ;
б) .
5. Аксиоматическая теория натуральных чисел (построенная итальянским математиком Дж.Пеано).
Первоначальные понятия: непустое множество N, отношение следования « ' » и выделенный элемент 1. Специальные аксиомы:
а) N (x1);
б) N (x=yx=y);
в) N (x=yx=y);
г) Пусть M  N. Тогда (l  M)( М  xМ)M=N.
Доказательство в теории есть способ обоснования истинности некоторого суждения. В математике, для которой характерен аксиоматический метод, взгляд на доказательство определяется взглядом на аксиоматическую теорию. Слово «теория» понимается здесь в определенном специальном смысле. Термин «теория» применяют по отношению к двум множествам высказываний, одно из которых есть собственное подмножество другого. Большое (объемлющее) множество высказываний определяет предметную область теории, элементы же меньшего (охватывающего) множества высказываний – это высказывания теории, которые считаются в ней истинными или доказуемыми (или теоремами). Они определяются как высказывания, выводимые чисто логическим путем из некоторых заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами.
В аксиоматической теории понятию истинности нет места – понятие истинного высказывания имеет смысл лишь в связи с возможными приложениями теории.