Т. А. Сливина математическая логика и теория алгоритмов

§ 1. Теории первого порядка. Основные понятия
Определим язык теории первого порядка.
Определение 1. Алфавитом А называется всякое непустое конечное множество символов. Символы алфавита называются буквами.
Определение 2. Словом в алфавите А называется всякая конечная последовательность букв алфавита А. Пустая последовательность букв называется пустым словом и обозначается через А.
Будем говорить, что два конкретных слова a₁a₂...а_п и b₁b₂...b_k алфавита А равны и писать а₁а₂... а_п = b₁b₂...b_k, если п = k и a₁ = b₁, а₂ = b₂, ..., а_п =b_п. При этом число п называют длиной этого слова.
Пусть Т – некоторая теория. Обозначим через А(Т) алфавит этой теории. Множество Е(Т) слов алфавита А(Т) называют множеством выражений теории Т.
Пару (А(Т), Е(Т)), состоящую из алфавита А(Т) и множества выражений Е(Т) теории Т называют языком теории Т.
Языки первого порядка обслуживают теории первого порядка. В алфавит всякой теории Т первого порядка входят по существу те же символы, которые были введены ранее. Это символы логических операций , , , –; символы кванторных операций , ; вспомогательные символы – скобки, запятые; счетное множество n-местных предикатных букв (n,j  l), где верхний индекс указывает на число мест, а нижний – номер предикатной буквы; конечное (возможно, и пустое) или счетное множество функциональных букв (n,j  l), где верхний индекс указывает на число переменных, входящих в функцию, а нижний – номер функциональной буквы; конечное (возможно пустое) или счетное множество предметных констант а_i (i  l).
В частности, под функциональной буквой может пониматься цепочка логических операций.
Множество предикатных букв вместе с множеством функциональных букв и констант называется сигнатурой языка данной теории и является его специфической частью.
Таким образом, в теории Т первого порядка могут отсутствовать некоторые или даже все функциональные буквы и предметные константы, а также некоторые, но не все предикатные буквы.
Различные теории первого порядка могут отличаться друг от друга по составу букв в алфавите.