Statistik fizika nazariy fizikaning asosiy tarkibiy qismlaridan biri bo’lib, juda ko’plab zarralardan tashkil topgan fizik tizimlar (makrotizimlar) xususiyatlarini o’rganish bilan shug’ullanadi

60.Bogolyubov zanjir tenglamasi. Juft korrelyasion funksiya.Hozirgi vaqtda zichligi katta bo’lgan gazlarning va suyuqliklarning statistik nazariyasini yaratmoq uchun, o’zaro ta’sir qiladigan zarralar tizimini tekshirishda turlicha uslublar qo’llanilmoqda. Bu uslublardan biri Bogolyubov tomonidan taklif etilgan korrelyativ funksiyalar uslubidir.
Korrelyativ fuksiyalar uslubida
(6.1)

konfigurasiyali integralni hisoblash o’rniga taqsimot funksiyalar tizimini bir-biriga bog’lovchi integro-differinsial tenglama hosil qilinadi. Bu uslub Gibbs statistikasining natijasidir.

Bizni o’zaro ta’sir qiluvchi zarralarning muhitdagi taqsimoti qiziqtiradi. Gibbs taqsimotini barcha impulslar bo’yicha integrallab zarralar tizimining muhitda taqsimot ehtimoliyatini topamiz:


, (6.2)



Agar (6.2) ni - dan boshqa barcha koordinatalar bo’yicha integrallasak:
(6.3)

bo’ladi. - birinchi zarra hajmda bo’lib, qolgan (N-1) - tasi esa ixtiyoriy ravishda taqsimot ehtimoliyati. Bu ehtimoliyatini:

(6.4)

deb yozish mumkin. Bu yerda - zarraning hajm elementida bo’lish ehtimoliyati zichligi. - ga birlangan taqsimot funksiyasi deyiladi.

(6.5)

Endi (6.2) - ni birinchi va ikkinchi koordinatalaridan tashqari boshqa barcha koordinatalar bo’yicha integrallasak, xuddi yuqoridagidek:

(6.6)

bo’ladi.

Bu yerda - birinchi zarraning - da va ikkinchi zarraning - da bo’lish ehtimoliyatining zichligi. - ni ikkilangan taqsimot funksiyasi deb ataymiz.
Shu yo’sinda ixtiyoriy tartibdagi taqsimot funksiyasini hosil qilish mumkin. Masalan, birinchi zarraning - da, ikkinchi zarraning -da ,..., m- zarraning - da bo’lish ehtimoliyatining zichligi


(6.7)

Aytaylik, bizni barcha zarralarning egallagan o’rniga bog’liq bo’lgan tizim xususiyatlari emas, balki bir qism m - ta zarralarning egallagan o’rniga bog’liq bo’lgan tizimning xususiyatlari qiziqtirsin. U holda m - nchi tartibli taqsimot funksiyasi butun tizimning Gibbs taqsimoti kabi bo’ladi, ya’ni ular teng kuchli bo’ladi.

Ayrim zarralargagina bog’liq bo’lgan fizik kattaliklarning o’rtacha qiymati

Turli tartibdagi taqsimot funksiyalarini kiritish masalani osonlashtirmaydi, chunki ularning barchasi uchun (6.1) ko’rinishdagi konfigurasiyali integralni hisoblash kerak. Lekin (6.1) bilan bog’liq bo’lmagan holda ham taqsimot funksiyalarini hisoblash yo’li bor. Bogolyubov shu funksiyalarni qanoatlantiruvchi integro-differensial tenglama tuzadi.

- birinchi tartibli taqsimot funksiyasini qanoatlantiruvchi tenglama hosil qilmoq uchun (6.6) - dan - bo’yicha xususiy hosila olamiz:


(6.8)
Bu yerda:
(6.9)


- juft ta’sirlarning potensial energiyalari. U holda (6.8)-ning o’ng tomoni:






, (6.10)

chunki (6.6) - ga asosan:

(6.10a)

Yuqoridagi ifodada j - bo’yicha yig’indi (N-1) ta had borligini anglatadi va har bir hadda ko’rinishdagi integral ishtirok etadi. Tizim bir xil zarralardan tashkil topganligi tufayli ning berilgan qiymatida bir xil qiymatga ega. Bundan tashqari barcha - lar bo’yicha integral olinayapti. Shuning uchun:

(6.10v)

Shunday qilib, (6.10v) va (6.10a) ni hisobga olgan holda (6.8) - tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(6.11)

Bu formula - birinchi va - ikkinchi tartibli taqsimot funksiyalari orasidagi bog’lanishni beradi.

Endi - ikkinchi tartibli funksiyani qanoatlantiruvchi tenglamani keltirib chiqaraylik. (6.6) dan:






(6.12)

(6.12) tenglama ikkinchi va uchinchi tartibli taqsimot funksiyalari orasidagi bog’lanishni beruvchi tenglamadir. Shunday qilib, m - nchi va (m+1) - nchi tartibli taqsimot funksiyalari orasidagi bog’lanishlarni ham topish mumkin. Natijada yopiq bo’lmagan tenglamalar tizimi hosil bo’ladiki, ularning har biri o’z tartibidagi taqsimot funksiyasining hosilasi va navbatdagi tartibli funksiyasining o’zi orqali ifodalanadi:

(6.13)

Bu jarayonni davom ettirish yo’li bilan (N-1) - nchi tartibli taqsimot funksiyasi bilan N - nchi tartibli taqsimot funksiyasini bog’lovchi tenglamaga kelamiz. N - nchi tartibli taqsimot funksiyasi esa bu Gibbsning taqsimot funksiyasidir. Shunday qilib, past tartibli taqsimot funksiyasini topish masalasi butun tizim uchun Gibbs taqsimotiga borib tarqaladi. Muhimi shundan iboratki, yuqori tartibli funksiyalar integral ostida koeffisiyent bilan birga keladi.

Agar ikki zarra orasidagi o’zaro ta’sir potensial energiyasi masofaning oshishi bilan tez kamaysa va molekula o’lchamidan katta masofalarda kichik bo’lsa, (d molekula diametri) bo’lganda -juda kichik bo’ladi. Shuning uchun, masalan, (6.12) ifodasining o’ng tomonidagi integralli ifodani quyidagicha baholash mumkin:

Agar 1 ta zarraga to’g’ri keluvchi V/N hajm zarra hajmi d³ dan katta bo’lsa, kichik bo’ladi.