So’z boshi o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi

So’z boshi o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi
Xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariysida matematik fizikaning masalalari turli fizik jarayonlarni bilan boshqa bo’limlardan farq qiladi. Unda asosan fizik jarayonlarni ifodalovchi masalalarni yechishning matematik usulllari o’rganiladi.
Ushbu ma’ruza matnlari 46 soatlik ma’ruzalarni o’z ichiga oladi. Bunda asosan, ikkinchi va undan yuqori tartibli xusisiy hosilali differensial tenglamalar o’rganilib, bu tenglamalar tiplarga ajratiladi. Keyin xar bir tipga mansub tenglamalarni o’rganish, qaralayotgan tipdagi tenglamaga keladigan oddiy fizik masalalar bilan boshlanadi. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy chegaraviy masalalar qo’yiladi va bu masalalar yechiminig mavjudligi, yagonaligi va turg’unligi haqidagi teoremalar isbotlanadi. Chegaraviy masalalarni yechish usullari bo’yicha keng ma’lumot beriladi.

I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar
1- Ma’ruza.
Ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning klassifikasiyasi
Reja
1. 2-tartibli 2 o’zgaruvchili xusisiy hosilali differensial tenglamalar haqida tushuncha.
2.2-tartibli 2 o’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalarning tiplari.
Tayanch so’z va iboralar

1. 
   Kvazichiziqli va chiziqli xususiy hosilali ikkinchi tartibli differensial tenglamalar .
   
2. 
   Bir jinsli tenglamalar .
   
3. 
   Xarakteristik tenglamalar.
   
4. 
   Parabolik, giporbolik, elliptik tipdagi tenglamalar.
   

1.Quyidagi tenglama
(1)
2-tartibli ikki o’zgaruvchili xusisiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Bu yerda - o’zgaruvchilar, esa noma’lum funksiya, - berilgan funksiya bo’lib, ushbu shartni qanoatlantiradi:
.
Agar (1) tenglama berilgan sohada aniqlangan, uzluksiz funksiya, bu tenglamada qatnashayotgan xususiy hosilalarga ega bo’lib, uni ayniyatga aylantirsa, u holda bu funksiya (1) tenglamaning regulyar yechimi deyiladi.
Ushbu
 (2)
yuqori tartibli hosilalarga nisbatan tenglama chiziqli tenglama, agar koeffisientlar  lardan tashqari larga ham bog’liq bo’lsa, u holda bunday tenglama kvazi chiziqli tenglama deyiladi.
Agar funksiya funksiya va uning barcha tartibdagi hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa, u holda (1) tenglama chiziqli tenglama deyiladi:
 , (3)
bu yerda - berilgan funksiyalar.
Agar bo’lsa, chiziqli tenglama bir jinsli, bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi.
(2) tenglamani qaraymiz. ni yangi o’zgaruvchilarga shunday almashtiraylikki, (1) tenglama sodda ko’rinishga kelsin:
. (4)
Bu almashtirish teskari almashtirishga ega bo’lsin, ya’ni (2) tenglamada qatnashayotgan hosilalarni yangi o’zgaruvchilarga almashtiramiz:
,
,
(5)
.
(5) tengliklarni (2) tenglamaga olib borib qo`yamiz. U holda
, (6)
bu yerda


funksiya 2-tartibli hosilalarga bog’liq bo’lmaydi.
va larni shunday tanlab olamizki, bo’lsin.
Quyidagi 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraymiz:
(7)
(7) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin. (7) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
(7’)
va (5’) ni soddalashtiramiz,

. (7”)
Bu yerdan
, (8₁)
(8₂)
Ta’rif: (8₁), (8₂) tenglamalar (2) tenglamaning xarekteristik tenglamalari deyiladi.
(8₁), (8₂) larning yechimlari
(9)
bo’lsin.
(9) ifodalarga (2) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
2.Belgilash kiritamiz:
Ta’rif: Agar bo’lsa, (2) tenglama giperbolik tipga tegishli, agar bo’lsa, (2) tenglama parabolik tipga tegishli, agar bo’lsa, (2) tenglama elliptik tipga tegishli deyiladi.
Misollaar keltiramiz: 1. - elliptik tipdagi tenglama, chunki, .
2. . Bu tenglama da elliptik, da giperbolik, da parobolik tipga tegishli.