So’z boshi o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi

Shturm – Liuvill masalasi.Xos qiymatlar deb ataluvchi  - ning shunday qiymatlari topilsinki, bunda ushbu
X’’(x)+ (11)
Masalaning xos funksiyalar deb ataluvchi noldan farqli yechimlari mavjud bo’ladi, xamda bu yechimlarni toping.

Quyidagi hollarni ko’rib chiqamiz.

1. da masala noldan farqli yechimga ega emas. Tenglamaning umumiy yechimi:
X(x)=
Chegaraviy shartdan:
X(0)= , X(l)= ( );
 va 
Bu holda  haqiqiy va musbat bo’lgani uchun 
Shuning uchun,  Demak, X(x)=0.
2.  da ham noldan farqli yechimlar mavjud emas.
X(x)=ax+b. Chegaraviy shartlardandan:  , X(l)=al=0, yani a=0, b=0. Demak, X(x)=0.
3. da tenglamaning yechimi quyidagicha:

Chegaraviy shartlardan: X(0)=C₁=0 X(1) . Agar X≠0 bo’lsa, u holda C₂≠0 , shuning uchun
 (12)
yoki  , n – ihtiyoriy butun son.
Demak, noldan farqli yechimlar
 (13)
Qiymatlarda mavjud. Bu xos qiymatlarga

Xos funksiyalar mos keladi.  deb olamiz, u holda
 (14)
(9) tenglamaning  ga mos yechimlari:
 (15)
Bu yerda A_n va B_n koeffitsentlar. Demak,
 (16)
funksiyalar (1) tenglamaning (2) boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlari. (1) tenglama chiziqli va bir chinsli bo’lgani uchun
U(x,t)= (17)
(1)tenglama va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Boshlang’ch shartlardan:
U(x,0)=φ(x)=
 (x,0)=φ(x)= (18)
Fur’ye qatorlari nazariyasiga ko’ra 0≤x≤1 da ihtiyoriy bo’lakli uzluksiz va bo’lakli differensiallanuvchi f(x) funksiya Fur’ye qatoriga yoyiladi.
F(x)= (19)
Bu yerda
 (20)
Agar φ(x) va ψ(x) funksiyalar Fur’ye qatoriga yoyilish shartlarini qanoatlantirsa, u holda
 (21)
 (22)
(18) va (21),(22) larga ko’ra
 (23)
Shunday qilib masalaning (17)-cheksiz qator ko’rinishidagi yechimini topdik. Agar (17) qator uzoqlashuvchi yoki bu qator bilan aniqlangan funksiya differensiallanuvchi bo’lmasa, u xolda (17)-berilgan differensial tenglamaning yechimi bo’lmaydi.
Endi (17) qator yaqinlashuvchi va yechim bo’lishi uchun   funksialardan qanday shart talab qilinishini aniqlaymiz

1. 
    (*)
   

funksiyani uzluksizligini isbot qilamiz. Buning uchun,  uchun qatorni tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatish yetarli, chunki, bu qatorning umumiy xadi uzluksiz bo’lib , tekis yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalarningqatori esa uzluksiz funksiyani aniqlaydi.

Demak,  sonli qator (majorant qator ) yaqinlashuvchi bo’lsa u xolda (*) qator tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

2. 
    yoki  majorant qatorni yaqinlashuvchiligini isbotlaymiz.
   
3. 
   Endi  (1) tenglamani qanoatlantirishini ko’rsatish uchun quyidagi qatorlarni tekis yaqinlashuvchiligini isbotlash kerak
   

 ,

Majorant qator esa  , bu yerda  ,  u holda masala quyidagi qatorlarni yaqinlashuvchiligini isbotlashga keladi:
  
Fur’ye qatorlarini ma’lum xossalaridan foydalanamiz:
Agar F(x) funksiya 21 davrli bo’lib , k-tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega bo’lib, (k+1)
tartibli hosilasi bo’lakli uzluksiz bo’lsa, u holda

sonli qator yaqinlashuvchi bo’ladi, bu yerda  Fur’ye koeffitsiyentlari. Shunday qilib,
 
qatorlarning yaqinlashuvchiligi uchun  funksiyalardan quyidagi shartlarni bajarilishini talab qilinadi :
  ni 2-tartibgacha xosilalari uzluksiz, 3-tartibli xosilasi bo’lakli uzluksiz va bundan tashqari,

  qatorlarning yaqinlasguvchi bo’lishi uchun  funksiyadan quyidagi shart talab qilinadi.
  uzlusiz differensiallanuvchi, 2-tartibli hosilasi bo’lakli uzluksiz va bundan tashqari  .
( shartlar yetarli shartlardir).