So’z boshi o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi

3-ma’ruza
Matematik fizikaning asosiy tenglamalarini keltirib chiqarish: tor tebranish tenglamasi; issiqlik tarqalish tenglamasi; statsionar tenglamalar; moddiy nuqtaning og’irlik kuchi ta’siridagi xarakati. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalalarning qo’yilishi

Reja

1. 
   Tor tebranish haqidagi masalaning qo’yilishi. Guk qonuni. N’yuton qonunlari.
   

2. Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish.
3. Tebranish, issiqlik tarqalishi, statsionar tenglamalar.
4. Asosiy masalalarning qo‘yilishi.
5. Koshi masalasi va uning qo‘yilishida xarakteristikalarning ro‘li.
6. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. Aralash va boshqa masalalar.
7. Tor tebranish tenglamasi uchun chegaraviy va boshlang’ich shartlar.
8. Chegaraviy masalalarni qo’yilishi.
9. Korrekt qo‘yilgan masala tushunchasi.

Tayanch so’z va iboralar.

1. 
   Tor tebranishi haqidagi masala.Guk qonuni.N’yuton qonunlari.
   
2. 
   Tor tebranish tenglamasi.
   
3. 
   Issiqlik tarqalish tenglamasi. Statsionar tenglama.
   
4. 
   Koshi masalasi, chegaraviy masala, aralash masala.
   
5. 
   Giperbolik tipdagi tenglamalar.
   
6. 
   Chegaraviy shartlar.
   
7. 
   Boshlang’ich shartlar.
   
8. 
   1-,2-,3-chegaraviy masalalar.
   
9. 
   Korrekt qo’yilgan masala.
   

1. 2- tartibli giperbolik tipdagi tenglamalar tebranish jarayonlari bilan bog’liq bo’lgan fizik

masalalarda ko’p uchraydi.
Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jisimki, uning uzunligi boshqa o‘lchamlaridan ancha ortiq bo‘ladi.
Torning chetki nuqtalari mahkamlangan, o‘zi esa qattiq tortilgan bo‘lsin. Agar tor muvozanat holatidan chetlashtirilsa tor tebrana boshlaydi. Biz tor tebranishini bir tekislikda ro‘y beradi deb faraz qilamiz.
Bu tekislikda to‘g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini olamiz . o‘qini torning boshlang‘ich tinch holati bo‘yicha yo‘naltiramiz. U holda torning muvozanat holatidan siljishini beradi. Tor tebranish jarayonida -chetlanish va ga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni . Har bir fiksirlangan vaqitda funksiya grafigi tor tebranishi grafigini
beradi, esa bu grafikning nuqtasiga o‘tkazilgan urinma burchak koeffisiyentini beradi. harakat tezligi, harakat tezlanishi.
Bizning maqsadimiz tor harakatini beruvchi funksiya qanoatlantradigan tenglama tuzish. Buning uchun ba’zi bir cheklanishlar qilamiz.
1. Tor absolyut egiluvchan. Torga ta’sir qilinib turgan taranglik kuchi yetarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilganda qarshiligini taranglikka nisbatan hisobga olmasa ham bo‘ladi.
Agar torning biror nuqtadan bir tomonga yotuvchi qismi olib tashlansa, u holda olib tashlangan qismining ta‘sirini almashtiruvchi taranglik kuchi. Shu nuqtada torning urunmasi bo‘yicha yo‘nalgan bo‘ladi.
Torni cho‘ziluvchan emas deb faraz qilamiz va u Guk qonuniga bo‘ysinadi, ya‘ni taranglik kuchini o‘zgarish miqdori torning uzunligini o‘zgarishiga proporsionaldir. Torni bir jinsli deb faraz qilamiz va uning chiziqli zichligini orqali belgilaymiz (birlik uzunlikka to‘g‘ri keluvchi massa).
Torga o‘qiga parallel kuchlar ta‘sir etadi deb faraz qilamiz ular tor bo‘ylab harakat qiladi va , ga bog‘liq, ularning zichligini deb belgillaymiz.
Muhitning qarshilik kuchi e‘tiborga olinmaydi. Biz faqat torning kichik tebranishlarini o‘rganamiz.
eng oddiy giperbolik tenglamani tor tebranish tenglamasi deyiladi. l- tor uzunligi ; tor bo’ylab yo’nalgan simni x deylik. Torning har bir nuqtasini uning x- abtsissasi bilan xarakterlash mumkin.
Tor tebranishi haqidagi oddiy masalani qaraymiz.
1)Tor tekislikda tebransin (x,t). Tor nuqtalari faqat x o’qiga perpendikulyar ravishda harakatlansin. , ya’ni tebranish ko’ndalang bo’lsin(vertical). U holda, tebranish jarayonini bitta funksiya yordamida berish mumkin.
2)Ko’rayotgan torni egiluvchan pishiq ip sifatida qaraymiz.
Torning taranglik kuchi simning oniy grafigiga urinma yo’nalishida yo’nalgan bo’lsin. Bu shartning ma’nosi shundan iboratki, tor egishga qarshi bo’lmaydi.
3)Taranglik kuchini Guk qonuni bo’yicha hisoblash mumkin bo’lsin (ya’ni elastic
bo’lsin).
2. Biz kichik tor tebranishini qaraymiz va  dan juda ham kichik deb faraz qilamiz.
lar ixtiyoriy bo’lib, torning uchastkasidagi t momentdan
keyingi yoy uzunligi:

Demak , tebranish jarayonida tor uchastkalari cho’zilmaydi. Bu yerdan kelib chiqadiki, Guk qonuniga ko’ra , T- taranglik kuchi vaqt o’tishi bilan xar bir nuqtada o’zgarmaydi:
T(x,t)=T(x).
Yana ko’rsatamizki, taranglik x ga ham bog’liq emas: T(x,t)=T_o const.
Taranglikni va o’qlariga proeksiyalarini va orqali belgilaymiz va ularni topamiz:

,
bu erda - chiziqqa o`tkazilgan urinma bilan Ox o’qi orasidagi burchak.
1)–farazimizga ko`ra, tashqi kuchlar o`qi bo`ylab ta`sir qiladi. Demak ,
T_x(x₂)- T_x(x₁)  T(x₂)=T(x₁) T(x,t)=T_o.
Demak, taranglik kuchi x ga bog’liq emas.
Torning ko’ndalang tebranish tenglamasini keltirib chiqarish uchun Nyutonning ikkinchi qonunini qo’llaymiz.
Faraz qilamiz: tasir qilayotgan kuch t ga bog’liq bo’lmasin. F(t)=F u xolda  tezlanish xam t ga bog’liq bo’lmaydi.  ni t₀ =0 dan t gacha integrallaymiz va  desak,


 (1) 

 xarakat miqdorining saqlanish qonuni,  kuch impul’si,  harakat miqdori (impul’si). faraz qilamiz.  ga bog’liq bo’lsin. (1) dan  vaqtdan keyingi tezlik,  boshlang’ich tezlik.
(0,t) oraliqni n ta bo’lakka bo’lamiz. U holda
 -
 -
……………………
 - ,
bu yerdan

 - , ya’ni   ga bog’liq emas. Shunday qilib, xarakat miqdorining o’zgarish qonuni:

 (2)

 Torning zichligi ρ(x) bo’lsin.   tezlik , u holda

  elementni Ou o’qi bo’yicha xarakat miqdoridir.
∆t= vaqt ichidagi xarakat miqdorining o’zgarishini

Tashqi kuch va  nuqtalardagi  taranglik kuchlarini yig’indilaridan iborat bo’lgan ta’sir qiluvchi kuch impul’siga tenglaymiz.
 taranglik kuch impul’si.
 tashqi kuch impulsi.
 tasir qilayotgan kuch.
 tashqi kuchning zichligi.
Xarakat miqdorining o’zgarish qonuniga ko’ra, quyidagi tenglamani ko’ramiz.

 (3)
(3)-ifoda tor ko’ndalang tebranish tenglamasining integral formasidir.
Faraz qilamiz, U C²(R²) bo`lsin.
U<sub>t</sub>(x,t<sub>2</sub>)- U<sub>t</sub>(x,t<sub>1</sub>)= (4)
(3)–da (4) almashtirish bajaramiz, u holda

Lemma: f(z), z R<sup>n</sup>-uzuluksiz funksiya bo`lib,
 bo’lsin. U holda ∀ larda  bo’ladi.
Bu lemma ko’ra :  Agar  bo’lsa , u holda 
Eslatma: Agar taranglik kuchi T-x ga bog’liq bo’lsa, tor tebranish tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.
(4)
a) Mexanikaning (tor, sterjen, membrana, uch o‘lchovli hajimlarning
tebranishlari), fizikaning (elektr tebranishlar) ko‘p masalalari
(5)
ko‘rinishdagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi noma’lum funksiya ta fazoviy koordinatalarga hamda vaqitga bog‘liqdir. - muxitning xossalari bilan aniqlanadi. esa tashqi ta’sirning intensivligini aniqlaydi (5) tenglamada

va agar -bo‘lsa, .
Demak,

b) Issiqlik tarqalish yoki muhitda zarrachalarning diffuziya jarayonlari
ushbu umumiy differensial tenglama bilan ifodalanadi
(6)
e) Statsio’nar tenglamalar. Statsio’nar, ya‘ni vaqtga bog‘liq bo‘lmagan
jarayonlar uchun , (5) tebranish hamda (6) diffurziya tenglamalar ushbu

ko‘rinishda bo‘ladi.
4. Biz - tekislikda quyidagi chegaralangan torni qaraymiz. Tor 0 va 1 nuqtalarda mahkamlangan bo’lsin, ya’ni torni chetlari mahkamlangan.
U holda quyidagi chegaraviy shart bajariladi.
U(0,t)=0, U(1,t)=0, (*)
Bundan tashqari, “boshlang’ich shart” lar beriladi, ya’ni ,
U(x, )=φ(x),
Demak, qo’shimcha shartlar: chegaraviy va boshlang’ich shartlardan iborat ekan, bu yerda
φ(x), berilgan funksiyalar. Keyinchalik ko’rsatamizki, bu shartlar
(1)
tor tebranish tenglamasini yechimini aniqlaydi.

1. 
   tenglamani x=0 , x=1 nuqtalarda qanoatlantirishi shart emas.
   

Agar torni chetlari ma’lum berilgan qonun bo’yicha harakat qilsa , u holda (*) – shart boshqa ko’rinishga ega bo’ladi:
U(0,t)=
5. 1- chegaraviy masala: Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi U(x,t) funksiyani topamiz.

1. 
   U(x,t)∈C(0≤x≤1, t≥0)∩
   

va sohada (1) tenglamani qanoatlantiradi.
2) U(x,t) chegaraviy va boshlangich shartlarni qanoatlantiradi:
U(x,0)= U_t(x,0)= , 0 (2)
U_x(0,t)= , U(l,t)= (3)
2-chegaraviy masala:
U_x(0,t)= , U(l,t)= (3^’)
(1),(2),(3’)qanoatlantiruvchi yechimnitopish masalasi 2-chegaviy masala deyiladi.
3-chegaraviy masala:
(3’’)
ni qanoatlantiruvchi yechimni toppish masalasi 3-chegaraviy masala deyiladi.
Koshi masalasi (boshlang’ich shartli masala, cheksiz soxa uchun).
(1)
va quyidagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi
(2)
funksiyani toping.
Umumiy masala reduksiyasi.
Ma’lumki, qiyin masalalarni yechishda nisbatan oddiyroq bo’lgan masalalarni yechishga olib kelishga xarakat qilinadi. Shu maqsadda umumiy chegaraviy maslaning yechiminibir nechta xusisiy chegaraviy masalalar yechimlarining yig’indisi ko’rinishida ifodalaymiz.
funksiya berilgan bo’lsin.

,
,
Ravshanki , yechimlarining superpazitsiyasi o’rinli
,


Bu superpazitsiya prinspi ixtiyoriy qo’shimcha chiziqli shartli chiziqli tenglamalar uchun ham o’rinlidir.
Ushbu umumiy chegaraviy masalaning



yechimi ko’rinishda ifodalanishi mumkin. Bu yerda quyidagi xususiy chegaraviy masalalarni yechimlari:


,