So’z boshi o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi

II-bo’lim (bob). Giperbolik tipdagi tenglamalar
4-ma’ruza
Mavzu: To’lqin tenglamasi uchun chegaraviy masalalar yechimining yagonaligi. Ko’shi masalasi. Dalamber formulasi.
Reja.

1. 
   Tor tebranish tenglamasi uchun qo’yilgan 1-,2-,3-chegaraviy masalalar.
   
2. 
   Yagonalik teoremasi.
   
3. 
   Yagonalik teoremasini isboti.
   
4. 
   Tor tebranish tenglamasi uchun cheksiz sohada boshlang’ich shartli masalaning
   

qo’yilishi.

5. 
   Dalamber formulasini keltirib chiqarish.
   
6. 
   Bir jinsli giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi yechimining
   

mavjudligi va yagonaligi.

Tayanch so’z va iboralari.

1.Giporbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar.
2.Yagonalik teoremasi .
3.Energiya integrali.

4. 
   Tor tebranish tenglamasi.
   
5. 
   Koshi masalasi .
   
6. 
   Dalamber formulasi.
   
7. 
   Mavjudlik va yagonalik teoremasi.
   

Chegaraviy maslalarni yechishda:

1)Qo’shimcha shartlar bir qiymatli yechimlarni ajratib olish uchun yetarliligini aniqlashlash kerak . Bu esa yagonalik teoremasi orqali amalga oshiriladi.
2)Qo’shimcha shartlar masalani oldindan aniqlamaslugi kerak, ya’ni bu sharlarning orasida bir-biriga bog’liq bo’lmagan shartlar yo’q. Bu esa mavjudlik teoremasi orqali amalga oshiriladi. Yechimning mavjudligini isbotlash, yechimni topish usuli bilan uzviy bog’liqdir. Teorema. Quydagi tenglamaning
ρ∪_tt=(kU_x)_x+F(x,t),00 (1)
U(x,0)=φ(x), U_t(x,0)=ψ(x)
U(0,t)=u₁(t), U(1,t)=u₂(1) (2)
Boshlang’ich va chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi yagona yechim mavjud .Bu yerda U(x,t)funksiya 2-tartibgacha hosilalari 0≤x≤1, t≥0 sohada uzliksiz va ρ(x)>0, k(x)>0uzuzliksiz funksiyalar.
Isbot: (1),(2)masalaning 2ta yechimi U₁(x,1),U₂(x,t) mavjud bo’lsin deb faras qilamiz va quydagi ayirmani qaraymiz V(x,t)=U₁-U₂, u holda bu funksiya
ρVtt=(kV_x) _x (3)
tenglamani va bir jinsliqo’shinch shartlarni qanoatlantiradi.
V(x,0)=0, Vt(x,0)=0
V(0,t)=0, V(1,t)=0 . (4)
V(x,t)=0 ekanini isbotlaymiz .
Quyidagi funksiyaga qaraymiz :
E(t)= (5)
Isbot qilamiz: 1) E(t)= const ; 2)E(t)=0 . (5) dan

tenglikni olamiz, chunki 2-tartibli hosilalar uzliksiz. Bo’laklab integrallasak ,
dx=[k - (6)

(0,t)=0, (1,t)=0 bo’lgani uchun dt =-
Bu yerdan

= dx=0, E(t)= . (7)
Boshlang’ich shartlarga asosan ,

E(t)= =E(0)= +ρ dx=0, (8)

chunki
V(x,t)=0, =0
(8) formuladan, k,ρ>0 bo’lgani uchun, (x,t)=0, (x,t)=0 ni hosil qilamiz .Bundan V(x,t)= . Boshlangich shartga ko’ra, V(x,0)= . Demak , V(x,t)= 0.
Shunday qilib , agar teoremani shartlarini qanoatlantiruchi 2 ta funksiyalar mavjud bo’lsa, u holda
= (x,t).
Ikkinchi chegaraviy masala uchun, V= funksiya quyidagi =0 , (1,t)=0 shartni qanoatlantiradi.(8) formuladagi isbotni davomi o’zgarmaydi.
3- chegaraviy masala uchun isbot bir qacha o’zgarishlarga ega.
V= funksiya uchun

ρ =(k
(0,t)=0 , 0
(0,t)=0 , 0 (9)
(9) dan quyidagini o’rniga qo’yamiz:
(k =-k V(ι,t) =- ;
-
Bu yerdan, tenglama va boshlang’ich shartlardan
E(t)=- | (0,t))≤0
kelib chiqadi. E(t)≥0 bo’lgani uchun E(t)=O. Ravshanki, V(x,t)=O .
shunday qilib , 3-chegaraviy masala uchun yagonalik teoremasi isbotlandi.

1.Giperbolik tipdagi tenglamalar ushun chegaraviy masalalarning yechimini qurish usullarini o’rganishni chegaralanmagan tor uchun boshlang’ich shartli masalalardan boshlaymiz:

-∞0 (1’)
U(x,0)=φ(x) , (x,0)=ψ(x) (2)
2.(1’)-ni kanonik ko’rinishga keltiramiz.Harakteristik tenglamani yozamiz: d - d =0, bundan dx-adt=0, dx+adt=0.
Integrallasak, x-at= x+at= o’garuvchilar kiritamiz : , bularni (1’) ga qo’sak.
(3)
Kelib chiqadi. Bu tenglamaning umumiy echimini topamiz .
(ξ,η)=t’(ξ), bu erda
U(ξ,η)= (ξ)dξ + = (ξ)+ (4)
Bu erda va lar faqat ξ va η ga bog’liq funksiyalar.

1. 
   formula (3) tenglamaning umumiy integrali bo’ladi. Demak
   

U(x,t)= (x)+ (x)= φ(x), (6)
(x,0)=a - =ψ(x). (7)
(7) dan
(x)- (x)= dx +c
Bu erda va c – o’zgarmaslar. Ushbu tengliklardan
(x)+ (x)= φ(x), (x)- (x)= dx +c
va larni topamiz:
(x)= (x)+ dℒ + ,
(x)= (x)- dx - . (8)
Shunday qilib , va larni berilgan , Funksiyalar orqali ifodaladik, (8) ni (5) ga qo’sak,

U(x,t)= +

yoki
U(x,t)= + (9)
(9) formula Dalamber formulasi deyiladi. Bu formula yechimni yagonaligini ham isbotlaydi.
Teorema1. φ∈ , ψ∈ , bo’lsin. U holda (1’), (2) masalani yechimi mavjud va yagona, bu yechim (9) Dalamber formulasi orqali ifodalanadi.
Misol.
=1,
(9) dan