Сонли усуллар ва дастурлаш фанидан лаборатория ишларини бажариш бўйича

2- ЛАБОРАТОРИЯ ИШИ


Мавзу: Транцендент тенгламаларни тақрибий ечиш усуллари. Ватарлар усулида тенгламалар ечиш.
Керакли техник воситалар:
Шахсий компьютер.
Керакли дастурий воситалар:
С++ дастурлаш системаси ва транцендент тенгламаларни ечиш учун Ватарлар усулларига тузилган дастурлар.
Ишнинг мақсади: Талабаларни транцендент тенгламаларни тақрибий ечиш алгоритми билан таништириш ва унга С++ тилида тузилган дастурда ишлашга ўргатиш.
Топшириқ
1-масала. Берилган тенгламаларни Ватарлар усули ёрдамида =0,01 аниқликда тақрибий ечинг.
1. x³+2x-5=0 [0;2] 2. e^x+2x-7=0 [0;2]
3. 2x-3-sinx=0 [0,5;2,5] 4. cosx-x³-x=0 [0;1]
5. xsinx+x-1=0 [0;1] 6. x-e^x+2=0 [-2;-1]
7. x³-2x²-x+2=0 [1,1;2,5] 8. 2^-x-x=0 [0;1]
9. 3^x+x-6=0 [1;2] 10. x+log₂x-2=0 [1;2]
11. x+2-e^-x=0 [-1;0] 12. x+0,5(2,5)^x-3,5=0 [0,5;1,5]
13. lnx-2+x=0 [1;2] 14. e^2x+2x-5=0 [0,5;1,5]
15. 9x-2+10^0,5x=0 [0;1]


Назарий қисм
Ватарлар усули. Аниқлик учун f(a)>0 ( f(a)<0 ) бўлсин. А=А(a;f(a)), B=B(b;f(b)) нуқталардан тўғри чизиқ ўтказамиз ва бу тўғри чизиқни Ох ўқи билан кесишиш нуқтасини деб белгилаймиз. Агар |a-x₁| бўлса, x=x₁ (1) тенгламанинг  аниқликдаги тақрибий ечими бўлади. Бу шарт бажарилмаса, b=x₁ (a=x₁) деб оламиз. A, B нуқталардан тўғри чизиқ ўтказамиз ва унинг Ох ўқи билан кесишиш нуқтасини деб оламиз. Агар |x₂-x₁| шарт бажарилса, x=x₂ (1) тенгламанинг  аниқликдаги тақрибий ечими бўлади, акс ҳолда b=x₂ (a=x₂) деб олиб, юқоридаги амаллар кетма-кетлигини |x_i-x_i-1| (i=3,4,…) шарт бажарилгунча давом эттирамиз. Натижада (1) тенгламанинг x=x_i тақрибий ечимини ҳосил қиламиз.
x_n ларнинг кетма-кет ҳисоблаш формуласи қуйидаги кўринишга эга бўлади:

Мисол. tg(0,55x+0,1)-x²=0 тенгламанинг [0,6;0,8] оралиқдаги илдизини =0,005 аниқликда ҳисобланг.
Ечиш. x₂-x₁=0,002< бажарилади. x₂=0,7517; x₁=0,7417 бундан x=0,7517.
Ватарлар усулига С++ тилида тузилган дастурнинг кўриниши:
#include
#include


using namespace std;
double f(double x){
return (x * sin(x) + (x-1));
}
int main(){
double a, b, e;
cin >> a >> b >> e;
double x0 = a, n = 0;
nish:
double xn = x0 - (f(x0) * (b-x0)) * 1.0 / (f(b) - f(x0));
n ++;
if(fabs(xn - x0) >= e){
x0 = xn;
goto nish;
}
cout << xn << " " << n;
}
3-ЛАБОРАТОРИЯ ИШИ


Мавзу: Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини Гаусс усулида ечиш.
Керакли техник воситалар:
Шахсий компьютер.
Керакли дастурий воситалар:
С++ дастурлаш системаси ва чизиқли алгебраик тенгламалар системасини Гаусс, тескари матрица ва итерация усуллари ёрдамида ечишга тузилган дастурлар.
Ишнинг мақсади: Талабаларга чизиқли алгебраик тенгламалар системасини Гаусс усулида ечиш алгоритмларини бериш ҳамда бу усулга С++ тилида тузилган дастурда ишлашга ўргатиш.
Топшириқ
1-масала. Берилган чизиқли алгебраик тенгламалар системаларини Гаусс усули ёрдамида ечинг.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15.

Назарий қисм

Бизга та номаълумли та чизиқли алгебраик тенгламалар системаси
(1)
берилган бўлсин. Бу ерда лар берилган сонлар, лар номаълумлар (i,j=1,2,...,n). Агар (1) системага мос келувчи асосий детерменант 0 дан фарқли, яъни

бўлса у ягона ечимга эга бўлади.
Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг бир неча усуллари мавжуд бўлиб, улардан асосийлари Крамер, Гаусс, тескари матрица, итерация усулларидир. Бу усуллар алгоритмларини (1) система учун кўриб чиқайлик.
Гаусс усули. Гаусс усули ёки ноъмалумларни кетма-кет йўқотиш усули чизиқли алгебраик тенгламалар системасини аниқ ечиш усули ҳисобланади. Бу усулининг алгоритми қуйидаги ҳисоблашлар кетма-кетлигидан иборат.
бўлсин (агар бўлса, системадаги тенгламаларнинг ўрнини алмаштириб га эга бўлиш мумкин). (1) системадаги биринчи тенгламанинг барча ҳадларини га бўлиб

ни ҳосил қиламиз. Бу тенгламани кетма-кет ларга кўпайтириб, ундан системанинг кейинги тенгламаларини айирамиз ва
(2)
системага эга бўламиз. Бу ерда , i=2,…,n; j=2,3,…,n.
(2) система учун юқоридаги ҳисоблашлар (номаълумларни кетма-кет юқотиш) ни бир неча бор такрорлаб, қуйидаги
(3)
системани ҳосил қиламиз ва х_i ларни топиш учун

формулага эга бўламиз.
Мисол. Қуйидаги

тенгламалар ситемасини Гаусс усулида ечинг.
Ечиш.
  
  

Жавоб:

Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини Гаусс усулида ечиш учун С++ алгоритмик тилида тузилган дастур матни