Чизиқли программалаш масаласини ечишнинг Симплекс усули

Мавзу: Чизиқли программалаш масаласини
ечишнинг Симплекс усули.
Режа

1. 
   Симплекс усул хакида кискача умумий маълумот
   
2. 
   Симплекс усулнинг алгоритми
   
3. 
   Баъзи иктисодий масалаларни симплекс усул ёрдамида ечиш
   
4. 
   Мустакил ечиш учун тавсия килинган мисоллар
   

1.Чизиқли программалаш соҳасини илк принциплари Л.В. Конторовични “Математические методы организации и планирования производства” номли ишларида учрайди(1939й), 1947 йлда эса америка олими Данциг томонидан чизиқли программалаш масаласини умумий қўйилган.

Биз биламизки чизиқли программалаш масаласи бу чизикли функционални кўп ўлчовли фазода чизиқли чекловларни қаноатлантирган ҳолда минимум ёки максимум қийматини топишдан иборат. Бу масаладаги хар бир чизиқли чекловлар n- ўлчовли фазони (n-1)- ўлчовли ярим фазоси бўлади, демак бундан чикадики барча чизиқли чекловларни умумий ечими (мумкин бўлган режалар тўплами) n- ўлчовли фазода қавариқ кўпёқ бўлади.
Симплекс усул чизиқли программалаш масаласини мумкин бўлган режалар тўплами бўлган кўпёқни учлари орасидан оптимал ечимни топиш усулидир. Агар масалани ўзгарувчилар сони n-та чекловлар сони m-та бўлса у ҳолда кўпёқнинг учлари сони С_n^m –га тенг бўлади, бу еса катта сон бўлиб, бурчакларни бирма-бир текшириб чиқиш мақсадга муофиқ эмас.
2. Умумий ҳолда берилган куйидаги чизиқли программалаш масаласини кўрайлик:
a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≤b₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n≤b₂
. . . . . . . . . . . . . (1)
a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≤b_m,
x_1, x_{2, . . . ,} x_n≥0 шартларни қаноатлантирган ҳолда F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n (2) мақсад функцияга максимал қиймат берувчи x_1, x_{2, . . . ,} x_n ларни топиш керак.
1-қадам. Берилган (1) тенгсизликлар системасида янги x_n+1, x_{n+2, . . . ,} x_n+m, мусбат ўзгарувчилар киритиб барча тенгсизликларни тенгликларга айлантириб оламиз. Бу ерда янги киритилган ўзгарувчиларни иктисодий маъноси: шу ўзгарувчи катнашган тенгсизликга мос келувчи хом ашёни ортиб қолган миқдоридир. Демак n+m- ўзгарувчили m-та чизиқли тенгламалар системасини хосил қилдик ва бу системада x_n+1, x_{n+2, . . . ,} x_n+m – ўзгарувчилар фақат биттадан тенгламада бир коэффициет билан иштирок этади.
2-қадам. Хосил бўлган тенгламалар системада x_n+1, x_{n+2, . . . ,} x_n+m – ўзгарувчиларни базис ўзгарувчилар, x_1, x_{2, . . . ,} x_n –ўзгарувчиларни эса эркин ўзгарувчилар деб оламиз ва базис ўзгарувчиларни эркин ўзгарувчилар орқали ифодалаймиз.
x_n+1 = b₁ -a₁₁x₁-a₁₂x₂-…-a_1nx_n
x_n+2 = b₂ -a₂₁x₁-a₂₂x₂-…-a_2nx_n
. . . . . . . . . . . . . (3)
x_n+m = b_m-a_m1x₁-a_m2x₂-…-a_mnx_n,
бу ерда x_1, x_{2, . . . ,} x_n –ўзгарувчиларни барчасига 0 қиймат берсак
x_n+1, x_{n+2, . . . ,} x_n+m – ўзгарувчилар мос равишда b₁, b₂, ..., b_m –қийматларни қабул қилади ва (0,0,...,0, b₁, b₂, ..., b_m,) биринчи таянч режа бўлади.
3-қадам. Тузилган (3) системани ва (2) мақсад функцияни
қуйидаги симплекс жадвалга киритамиз.

Базис ўзгарувчилар	Озод ҳад	Эркин ўзгарувчилар
		-x1	-x2	...	-xn
xn+1	b1	a11	a12	...	a1n
xn+2	b2	a21	a22	...	a2n
....	....	...	...	...	...
xn+m	bm	am1	am2	...	amn
F	0	-c1	-c2	...	-cn

Агар бу жадвлда F сатрдаги барча эркин ўзгарувчиларга мос келувчи элементлар, яъни -c₁, -c₂, ...,-c_n лар мусбат бўлса бу жадвалга мос келувчи режа (0,0,...,0, b₁, b₂, ..., b_m,) оптимал режа бўлади.