|
I-asosiy savol bayoni.
Haqiqiy sonlar ustida amallar: Haqiqiy sonlarning istalgan aniqlikdagi o'nli
yaqinlashishlarining kami va ortig'i bilan olingan taqribiy qiymatlari oldindan ma'lum
qoidalarga ko'ra aniqlanadi.
Agar
biror haqiqiy son, a - o'sha
sonning kami bilan olingan biror taqribiy qiymati, b
esa o'sha
sonning ortig'i bilan olingan biror taqribiy qiymati bo'lsa, u holda a < a < b.
sonning ortig'i bilan olinadigan taqribiy qiymatlari shu sondagi o'nli ishora raqamlarining
oxirgisiga 1 ni qo'shish vositasi bilan hosil bo'ladi.
Masalan,
=
3
sonning kami bilan olingan taqribiy qiymatlari: 1; 1,7; 1,73; 1,732;
1,7320; ... bo'ladi. Ortig'i bilan olingan taqribiy qiymatlari 2; 1,8; 1,74; 1,733; 1,7321;
...bo'ladi.
Umuman a = a
0
,a
1
a
2
a
3
.. haqiqiy sonning 10
-n
gacha aniqlikdagi kami bilan olingan taqribiy
qiymati
n
n
o
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
10
...
10
10
10
....
,
3
3
2
2
1
3
2
1
0
ortig'i bilan olingan taqribiy qiymati
esa
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
10
1
10
1
10
...
10
10
10
.....
,
3
3
2
2
1
0
3
2
1
0
'
bo'ladi. Bu yerda a
n
va
a'
n
-a sonining 10
-n
gacha aniqlikdagi kami bilan va ortig'i bilan olingan taqribiy
qiymatlaridir.
Masalan, a = 36,3768 soni uchun 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 gacha aniqlikda kami va ortig'i
bilan olingan taqribiy qiymatlarini hisoblaylik.
1 gacha aniqlikda: a
0
= 36; a'
0
= 37;
0,1 gacha aniqlikda: a = 36,3; a’
1
= 36,4 ;
0,01 gacha aniqlikda: a
2
= 36,37; a'
2
= 36,38;
0,001 gacha aniqlikda: a
3
= 36,376; a’
3
= 36,377;
0,0001 gacha aniqlikda: a
4
=36,3768; a'
4
= 36,3769. Bu natijalarni jadval ko'rinishida ham
berish mumkin:
a= 36,3768
Aniqligi
1 gacha 0,1 gacha
0,01 gacha
0,001 gacha 0,0001 gacha
a
n
36
36,3
36,37
36,376
36,3768
a’
n
37
36,4
36,38
36,377
36,3769
Endi haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallarni aniqlaymiz.
1-ta'rif. a va b sonlarining yig'indisi deb, ularning kami bilan olingan har qanday taqribiy
qiymatlari yig'indisidan katta, lekin ortig'i bilan olingan har qanday taqribiy qiymatlari
yig'indisidan kichik bo'lgan uchinchi bir c songa aytiladi.
Bu ta'rifning mazmuniga ko'ra a va b haqiqiy sonlarning yig'indisi shunday bir uchinchi
yagona c haqiqiy sondan iborat bo'ladiki, istalgan manfiy bo'lmagan n butun son uchun
a
n
+b
n
≤c
n
+ b'
n
tengsizlik o'rinli bo'ladi.
1-misol. a=3,3173... va b= 1,1236... sonlarining yig'indisini toping.
Yechish. Berilgan sonlarning ifodasidan a
4
= 3,3173, a’
4
=3,3174; b
4
= 1,1236, b'
4
=1,1237
bo'lishi kelib chiqadi. Shuning uchun
a
4
+b
4
= 3,3173 +1,1236 = 4,4409 ≤ a + b
4
+ b’
4
= 3,3174 + 1,12337 = 4,4411.
Shunday qilib, 0,001 aniqlikkacha a+b=4,441 natijani olamiz.
2-misol. a =
2
va b =
3
sonlarning 0,1; 0,01; 0.001;0,0001 aniqlikdagi yig'indilarini
toping.
Yechish. Hisoblash natijalarini jadval tarzda beraylik:
0,1 gacha
0,01 gacha
0,001 gacha
0,0001 gacha
a
1
= 1,4,
b
1
= 1,7,
a’
1
= 1,5,
b’
1
= i,8,
a
1
+ b
1
= 3,1,
a’
1
+ b’
1
= 3,3
a
2
=1,41,
b
2
=l,73,
a
2
'=l,42,
b’
2
=1,74,
a
2
+ b
2
= 3,l4,
a'
2
+ b'
2
= 3,16
a
3
=1,414,
b
3
= 1,732,
a
3
' = 1,415,
b’
3
= 1,733,
a
3
+ b
3
= 3,146,
a'
3
+b’
3
= 3,148
a
4
= 1,4142,
b
4
= 1,7320,
a’
4
=1,4143,
b
4
' =1,7321,
a
4
+ b
4
= 3,1462, a’
4
+b’
4
=3,1464
0,1 gacha aniqlikda 3,l≤a + b<3,3;
0,01 gacha aniqlikda 3,14 ≤a + b< 3,16;
0,001 gacha aniqlikda 3,146 ≤ a + b< 3,148;
0,0001 gacha aniqlikda 3,1462 ≤a + b< 3,1464.
II-asosiy savol bayoni.
Haqiqiy sonlarning ko`paytamsi: 2-ta'rif. a va b manfiy bo’lmagan haqiqiy sonlar-
ning ko'paytmasi deb, n istalgan manfiy bo'lmagan butun son bo'lganda a
n
b
n
≤c<
a'
n
b'
n
tengsizlikni qanoatlantiruvchi c songa aytiladi.
Shunday qilib, a va b musbat haqiqiy sonlarni ko'paytirish degan so’z ularning kami bilan
olingan har qanday taqribiy qiymatlari ko'paytmasidan katta, lekin ortig'i bilan olingan har
qanday taqribiy qiymatlari ko'paytmasidan kichik bo'lgan uchinchi bir c haqiqiy sonni
topish demakdir. a =
2
va b =
3
sonlarining yuqorida ko'rsatilgan taqribiy qiymatlarini
olib, shuni ayta olamizki, a · b ko'paytma shunday sonki, bu son:
ushbu ko'paytmalarning har biridan
katta:
ushbu ko'paytmalarning har biridan
kichik:
1,4-1,7 = 2,38;
1,411,43 = 2,4393;
1,41 1,43 = 2,449098;
1,4142 1,7320 = 2,44939440
va hokazo.
1,51,8 = 2,70;
1,42-1,74 = 2,4708;
1,415-1,733 = 2,452295;
1,4143 ∙1,7321= 2,44970903
va hokazo.
III-asosiy savol bayoni.
Haqiqiy sonning darajsi: 3-ta'rif. a sonining ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va hokazo
darajasi deb har biri a ga teng bo’lgan ikkita, uchta, to'rtta va hokazo ko'paytuvchilardan
tuzilgan ko'paytmaga aytiladi.
Natural darajaga ko'tarish amalining kami va ortig'i bilan olingan taqribiy qiymatlari 2-
qoidaga muvofiq aniqlanadi.
Haqiqiy (irratsional) sonlar uchun teskari amallar ham ratsional sonlar uchun bo'lgani kabi
ta'riflanadi: chunonchi a sondan b sonni ayirish b + x yig'indi a songa teng bo'ladigan x
sonni topish degan so'zdir va h.k.
Agar a yoki b sonlardan biri ratsional son bo'lib, chekli o'nli kasr bilan ifoda etilsa, u holda
ko'rsatilgan ta'riflarda bunday sonning taqribiy qiymatlari o'rniga uning aniq qiymatini
olish kerak.
Manfiy irratsional sonlar ustidagi amallar ham ratsional manfiy sonlar uchun berilgan
qoidalarga muvofiq bajariladi. Irratsional sonlar ustidagi amallarning xossalari ham
ratsional sonlar ustidagi amallarning xossalariga ega ekanligini aniqlash mumkin.
Masalan:
l)a + b=b + a (qo'shishning o'rin almashtirish qonuni);
2) a + (b + c) = (a + b) + c (qo'shishning guruhlash qonuni);
3)a∙b = b∙a (ko'paytirishning o'rin almashtirish qonuni):
4) a∙ (b∙e) = (a∙ b) ∙c (ko'paytirishning guruhlash qonuni);
5) a(b + c) = ab + ac (ko’paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimot qonuni);
6) a∙1 = a.
Tengsizliklar bilan ifodalangan xossalar irratsional sonlar uchun ham o'z kuchini saqlaydi.
Masalan, a > b va c>0 bo'lsa, u holda a + c> b + c, ac>bc bo'ladi; agar c < 0 bo'lsa, u holda
ac < bc bo'ladi va hokazo.
Nazorat savollari:
1. Haqiqiy sonlarning yig`indisi deb nimaga aytiladi?
2. Haqiqiy sonlarning ko`paytamsi deb nimaga aytiladi?
3. Haqiqiy sonning darajsi ko`rinishda qanday ifodalash mumkin?
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Matematika. A. Meliqulov, P. Qurbonov. T. O`qituvchi 2003 yil.
2. Sh. O. Alimov, Y. M. Kolyagin. “Algebra va analiz asoslari” T. O`qituvchi 2001 y.
3. A. Abduhamidov, X. Nasimov. “Algebra va analiz asoslaridan masalalar to`plami”
1-qism. T. “Sharq nashiriyoti” 2003 y.
Do'stlaringiz bilan baham: |
