Sonli to'plamlar

 

I-asosiy savol bayoni. 

Irratsional sonlar: Miqdorlarni o'lchash butun sonlar to'plamini kengaytirish zaruriyatini 

vujudga  keltirdi.  Q  ratsional  sonlar  to'plami  ham  matematikaning  ko'pgirta  amaliy  va 

nazariy  masalalarini  hal  etishdagi  ehtiyojlarimizni  qanoatlantira  olmaydi.  Q  to'plamni 

ham  kengaytirish  ehtiyojlari  sezilib  turadi.  Masalan,  amaliyotda  kesma  uzunligining 

taqribiy  qiymatini  ratsional  sonlar  yordamida  yetarlicha  aniqlikda  o’lchab  topish 

mumkin. Lekin o'lchanayotgan miqdorning qiymatlarini aniq ifoda qilish uchun ratsional 

sonlar to'plami yetarli emas. 

Har  bir  ratsional songa son to'g'ri  chizig'ida bitta  aniq nuqta mos  keladi. Shunday  savol 

paydo bo’lishi tabiiy: son o'qining barcha nuqtalariga ratsional sonlar mos keladimi yoki 

son to'g'ri chizig'ida ratsional sonlar mos kelmaydigan nuqtalar ham bormi? 

Boshqacha aytganda, son to'g'ri chizig'ida shunday bir  A nuqtani tanlash mumkinmi, bu 

nuqta  va  O  nuqta  orasidagi  |OA|  kesma  [0;  1]  kesma  bilan  o’lchanuvchi  bo'lmasin. 

Shunday nuqtaning mavjudligini ko'rsatamiz. 

Kvadrati  2  soniga  teng  bo'lgan  ratsional  sonning  mavjud  emasligini  ko'rsatamiz. 

Boshqacha  aytganda,  soddagina  x

2

-2=0  tenglamani  qanoatlantiradigan  ratsional  son 

mavjud emasligini ko'rsatamiz. 

Qarama-qarshisini  faraz  qilish  usulidan  foydalanamiz.  Aytaylik,  kvadrati  2  ga  teng 

bo'lgan  qisqarmas 

n

m

  kasr  mavjud  bo'lsin.  Bunday  holda 

2

2

2

2

2

n

m

n

m



















bo'lishi 

kelib chiqadi. Demak m

2

 -juft son ekan. Bunday holda m ham juft son bo'ladi. Bordi-yu 

---

m toq son bo'lsa, ya'ni m = 2k + 1 bo'lsa, u holda m

2

 = (4k

2

 + 4k) + 1 son ham toq bo'ladi. 

Agarda m juft son bo'lsa, u holda m = 2k



m

2

 = 4k

2



 2n

2

 = 4k

2

 



 n

2

 = 2k

2

. 

Oxirgi tenglikdan n

2

 ning juft son ekanligi kelib chiqadi. Demak. n ham juft son bo'ladi. 

Bizning qilgan farazlarimizga ko'ra 

n

m

 

kasri qisqarmas edi. Lekin bu kasr 2 ga qisqaradi. 

Biz chiqargan xulosa esa 

n

m

 kasri qisqarmas degan da’voga ziddir. 

Shunday qilib, kvadrati 2 ga teng bo'lgan ratsional son mavjud degan farazimiz noto'g'ri 

ekan. 

Son to'g'ri chizig'ida 

2

 ning qiymatiga mos keluvchi nuqtani ham ko'rsatish mumkin. 1 

soniga mos keluvchi nuqtaga uzunligi 1 ga teng bo'lgan perpendikularni tiklaymiz. Uning 

oxirgi nuqtasirri 0 nuqta bilan tutashtiramiz. 

Natijada gipotenuzasi 

2

 ga teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak olamiz. Bu to'g'ri 

burchakli uchburchakning har bir kateti 1 ga teng. Son to'gri chizig'ida gipotenuzaga teng 

kesmani 0 nuqtadan boshlab qo'yib, 

2

ning qiymatiga mos keluvchi nuqtani topamiz (9- 

rasm). 

 

 

 

 

 

 

Shuningdek, 

3

, 

5

, 

7

va h.k sonlarga mos keluvchi nuqtalarni ham topamiz. 

Shunday qilib, ratsional nuqtalar to'plami, ya'ni ratsional sonlarga mos keluvchi nuqtalar 

to'plami  son  to'g'ri  chizig'ini  to'laligicha  qoplab  olmaydi.  Ratsional  sonlar  to'plami 

(cheksiz davriy o'nli kasrlar to'plami) va son to'g'ri chizig'idagi barcha nuqtalar to'plami 

orasida  o'zaro  bir  qiymatli  moslik  mavjud  emas.  Ratsional  sonlar  to'plamida  ildiz 

chiqarish amali hamma vaqt bajarilavermaydi. 

Son to'g'ri chizig'idagi nuqtalar to'plami bilan ratsional sonlar to'plami o'rtasida o'zaro bir 

qiymatli moslikni o'rnatish uchun ratsional sonlar to'plamini boshqa sonlar to'plami bilan 

to'ldirish  kerak  ekan.  Bunday  sonlar  to'plamining  elementlari  (sonlari)  irratsional  sonlar 

deyiladi. Irratsional sonlar to'plamini I orqali belgilaymiz. 

Masalan, 

2

 

3

, 

5

, 

7

... sonlar irratsional sonlardir.