Sonli qatorlar. Asosiy tushunchalar. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Musbat hadli qatorlar va ular yaqinlashishining yetarli shartlari. Koshi, Dalamber va Koshining integral alomatlari. Reja

1-teorema (Koshi kriteriyasi) qator yaqinlashishi uchun istalgan son uchun shunday nomer topilishi va barcha , larda

bo‘lishi zarur va yetarli.
Koshi kriteriyasining tog‘riligi yaqinlashuvchi qator va yaqinlashuvchi ketma-ketlik ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi.
4-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. qatorga garmonik qator deyiladi.
Garmonik qatorning va -qismiy yig‘indilari ayirmasini qaraymiz:

Tenglikning o‘ng qismidagi har bir qo‘shiluvchini o‘zidan kichik bo‘lgan had bilan almashtiamiz:

Bu tengsizlik garmonik qator uchun da Koshi kriteriyasining
bajarilmasligini bildiradi. Demak, garmonik qator uzoqlashadi.
Ixtiyoriy qator uchun -xusisiy yig‘indini va uning limitini topish masalasi ko‘p hollarda oson yechilmaydi. Shu sababli qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishini aniqlashning bir nechta alomatlari o‘rnatilgan. Ulardan birinchisi qator yaqinlashishining zaruriy alomati hisoblanadi.
2-teorema (qator yaqinlashishining zaruriy alomati). Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Isboti. qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Bunda Koshi kriteriyasi ko‘ra da bo‘ladi. Bu tengsizlik barcha larda bajariladi. istalgan son bo‘lgani uchun tengsizlik bo‘lishini bildiradi.
Izoh. shart qator yaqinlashishining zaruriy sharti bo‘ladi, ammo u yetarli shart bo‘lmaydi, ya’ni bo‘lishidan qatormning yaqinlashishi kelib chiqmaydi. Bu jumla shart bajariladigan uzoqlashuvchi qatorlarning (masalan, garmonik qator) mavjud ekanini bildiradi. Shu sababli shart
bajarilgan holda qo‘shimcha tekshirish o‘tkazilishi kerak.
5-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator uchun
Qatorning umumiy hadida almashtirishlar bajaramiz:

Bundan

. Demak, qator uzoqlashadi.
3-natija (qator uzoqlashishining yetarli alomati). Agar da qatorning
umumiy hadi nolga intilmasa, u holda qator uzoqlashadi.
6-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator uchun
Demak, qator uzoqlashadi.
Qator yaqinlashishining zaruriy alomati, umuman aytganda, berilgan qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishi haqida aniq fikr aytish imkonini bermaydi. Qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini ko‘p hollarda etarli alomatlar orqali aniqlash mumkin bo‘ladi.
Qator yaqinlashishining yetarli alomatlaridan ayrimlarini musbat hadli qatorlar, ya’ni barcha hadlari musbat bo‘lgan qatorlar uchun ko‘rib chiqamiz.
Avval quyidagini qayd qilamiz. Musbat hadli qator uchun bo‘lganda bo‘ladi, ya’ni qatorning qismiy yig‘indilari o‘suvchi ketma-ketlik hosil qiladi. Bunda ikki hol bo‘lishi mumkin:
1. Qismiy yig‘indilar ketma-ketligi chegaralanmagan. Bu holda bo‘ladi va natijada qator uzoqlashadi;
2. Qismiy yig‘indilar ketma-ketligi chegaralangan. Bunda qismiy yig‘indilar ketma-ketligi limitga ega bo‘ladi va natijada qator yaqinlashadi.
Shunday qilib, musbat hadli u yoki bu qatorning yaqilashishini isbotlash
uchun, uning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi chegaralanganligi ko‘rsatish kifoya.