Sonli qatorlar. Asosiy tushunchalar. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Musbat hadli qatorlar va ular yaqinlashishining yetarli shartlari. Koshi, Dalamber va Koshining integral alomatlari. Reja

Qatorlarning taqqoslash alomatlari
Musbat hadli qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi ko‘pincha uni yaqinlashuvchi yoki uoqlashuvchi ekani ma’lum bo‘lgan boshqa (“etalon”) qator bilan taqqoslash yo‘li bilan aniqlanadi. Bunday taqqoslashlar quyidagi teoremalarga asoslanadi.
1-teorema (taqqoslash alomati).
, ( 2.1)
(2.2)
musbat hadli qatorlar berilgan va ning biror nomeridan boshlab tengsizlik bajarilsin. U holda (2.2) qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishidan (2.1) qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi kelib chiqadi va (2.1) qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishidan (2.2) qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishi kelib chiqadi.
Isboti. (2.1) va (2.2) qatorlarning - qismiy yig‘indilari mos ravishda va bo‘lsin. U holda tengsizlikdan kelib chiqadi.
(2.2) qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ga teng bo‘lsin. U holda bo‘ladi. Qator hadlari musbat bo‘lgani uchun tengsizlik bajariladi. Bundan tengsizlikka ko‘ra kelib chiqadi.
Demak, (2.1) qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi chegaralangan. Shu sababli (2.1) qator yaqinlashadi. Bunda uning yig‘indisi (2.2) qatorning yig‘indisidan katta bo‘lmaydi.
(2.1) qator uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda bo‘ladi. Bundan tengsizlikka ko‘ra bo‘ladi.
Demak, (2.2) qator uzoqlashadi.
1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Etalon qator sifatida yaqinlashuvchi qatorni olamiz. Berilgan qatorning hadlari uchun tengsizlik bajariladi.
U holda 1-teoremaga ko‘ra berilgan qator yaqinlashadi.
2-teorema (taqqoslashning limit alomati). Agar musbat hadli (2.1) va (2.2) qatorlar uchun bo‘lsa, u holda har ikkala qator bir vaqtda yaqinlashadi yoki bir vaqtda uzoqlashadi.
Isboti. Ketma-ketlikning limiti ta’rifiga ko‘ra limit mavjud bo‘lishidan son uchun shunday nomer topiladi va barcha uchun yoki bo‘ladi.
Bundan , kelib chiqadi.
(2.1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda , bo‘lgani uchun 1-teoremaga ko‘ra qator yaqinlashadi. Bundan qatorning 1- xossasiga ko‘ra (2.2) qator yaqinlashadi.
(2.1) qator uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda , bo‘lgani uchun 1-teoremaga va qatorning 1-xossalariga ko‘ra (2.2) qator uzoqlashadi.
Shu kabi, (2.2) qator yaqinlashsa (uzoqlashsa), (2.1) qator ham yaqinlashadi (uzoqlashadi).
Izoh. Taqqoslash alomatlarini qo‘llashda ko‘pincha etalon qator sifatida yaqinlashuvchi (geometrik progressiya) qator yoki uzoqlashuvchi (garmonik qator) qator olinadi.
2-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator bilan va garmonik qator hadlari nisbatining limitini topamiz:

Garmonik qator uzoqlashuvchi. Demak, 2-teoremaga ko‘ra berilgan qator uzoqlashadi.