Sobolev fazosida hosilalar bilan sonli integrasiyaning optimal formulalari

Sobolev fazosida hosilalar bilan sonli integrasiyaning optimal formulalari
Kholmat M. Shadimetov
Farhod A. Nuraliev_
Institute of Mathematics
Uzbekistan Academy of Sciences
Mirzo Ulugbek, 81, Tashkent, 100041
Uzbekistan
Maqolada L(m)2 (0; 1) fazoda Sard bo‘yicha optimal kvadratura formulalarini qurish masalasi ko‘rib chiqilgan. To'rtburchaklar yig'indisi ichki tugunlardagi integral qiymatlari va integratsiya oralig'ining oxirgi nuqtalaridagi integrandning birinchi, uchinchi va beshinchi hosilalari qiymatlaridan iborat.
Optimal kvadratura formulalarining koeffitsientlari topiladi va ixtiyoriy N natural son va har qanday m > 6 uchun optimal xato funksional normasi Sobolev usulida hisoblanadi. U d2m=dx2m differentsial operatorining diskret analogiga asoslangan. Xususan, m = 6 uchun; 7 klassik Eyler-Maklaurin kvadraturasi formulasining optimalligi olinadi. m = 8 dan boshlab yangi optimal kvadratura formulalari olinadi. Kalit so'zlar: optimal kvadratura formulasi, xato funksional, ekstremal funksiya, Sobolev fazosi, optimal koeffitsientlar.
DOI: 10.17516/1997-1397-2018-11-6-764-775.
1.Kirish. Muammoning bayonoti
Quyidagi umumiy kvadratura formulasini ko'rib chiqamiz

xato funktsional bilan

m > 6 uchun L(m)2 (0; 1) fazoda. Bu yerda C[ ], = 0;N va An, n = 1; 2; 3 - (1.1) formulaning koeffitsientlari, h =1N; N - natural son, "[0;1](x) - [0,1] oraliqdagi xarakteristik funktsiya, (x) - Dirac delta-funktsiyasi va ph - Sobolev fazosining elementi.

norma bilan jihozlangan


Tenglik (3) yarim me’yor va ∥ph∥ = 0 bo’ladi, agar ph(x) = Pm1(x) bo’lsa, bunda Pm1(x) m 1 darajali ko’phad.
Farqi

1. 
   kvadratura formulasining xatosi deyiladi
   

Koshi-Shvars tengsizligi bilan

1. 
   formulaning (1.4) xatosi L(m)2 (0; 1) konjugat fazodagi xato funksional (1.2) normasi bilan baholanadi, yaʼni. Tomonidan
   

Shunday qilib, L(m)2 (0; 1) fazodagi funksiyalar bo‘yicha (1.1) kvadratura formulasining (1.4) xatosini baholash L(m)2 (0) konjugat fazodagi funksional ℓ xato normasini topishga qisqartiriladi.
Shubhasiz, funktsional xatolik ℓ normasi (1.1) kvadratura formulasining koeffitsientlari va tugunlariga bog'liq. Koeffitsientlar va tugunlarga bog'liq bo'lgan funktsional xatolik ℓ normasining minimalini topish masalasi Nikolskiy muammosi deb ataladi. Olingan formula Nikolskiy ma'nosida optimal kvadratura formulasi deb ataladi. Bu muammo birinchi marta S. M. Nikolskiy [11] va ko'plab mualliflar tomonidan ko'rib chiqilgan (masalan, [1-4, 12, 29] va undagi havolalarga qarang). Tugunlar o'rnatilganda xato funktsional ℓ normasini koeffitsientlar bo'yicha minimallashtirish Sard muammosi deb ataladi. Olingan formula optimal kvadratura formulasi deb ataladi
Sard hissi Bu muammoni birinchi marta A. Sard [13] tekshirgan.
Ushbu maqolaning natijalari Sard muammosi bilan bog'liq. Bu erda biz Sard ma'nosida optimal kvadratura formulalari bo'yicha oldingi natijalarni muhokama qilamiz, ular bilan chambarchas bog'liq.
bizning natijalarimiz. Sard ma'nosida optimal kvadratura formulalarini qurishning bir necha usullari mavjud, masalan, spline usuli, ph-funksiya usuli (masalan, [1, 15] ga qarang) va Sobolev usuli.
chiziqli differentsial operatorning diskret analogini qurishga asoslangan (masalan, [25, 26] ga qarang). Sard muammosi turli sohalarda koʻplab mualliflar tomonidan oʻrganilgan (masalan, qarang). Ushbu ishning asosiy maqsadi L(m)2 (0) fazoda Sard maʼnosida optimal kvadratura formulalarini (1.1) qurishdan iborat. 1).
D2m=dx2m differentsial operatorining diskret analogiga asoslangan Sobolev usulidan [25,26] foydalanamiz.
L(m)2 (0; 1) fazoda funksional (1.4) xatolikni aniqlash uchun u quyidagi shartlarga javob berishi kerak (qarang [24])

Demak, (1.1) kvadratura formulalari mavjudligi uchun N > m4 shart bajarilishi aniq.
Yuqorida ta'kidlanganidek (1.1) formula xatosi (1.2) funktsional xatolikning ∥ℓ∥ normasi bilan baholanadi. Bundan tashqari, funktsional xatolik normasi (2) C[ ] koeffitsientlariga bog'liq; An.
C[ ] va An koeffitsientlari bo'yicha xato funktsional (2) normasini minimallashtiramiz, ya'ni topamiz.

(1.6) ni qanoatlantiradigan C[ ] va An koeffitsientlari optimal koeffitsientlar deyiladi va ular C[ ] va An bilan belgilanadi. Tegishli kvadratura formulasi optimal kvadratura deb ataladi
Sard ma'nosida formula. Qulaylik uchun optimal C[ ] va An koeffitsientlari C[ ] va An sifatida belgilanadi.
Shunday qilib, Sard ma'nosida optimal kvadratura formulalarini (1.1) qurish uchun biz quyidagi masalalarni yechishimiz kerak.