Sobolev fazosida hosilalar bilan sonli integrasiyaning optimal formulalari

Masala 1. (1.1) kvadratura formulasining L(m) 2 (0; 1) fazoda funksional (1.2) xatolik normasini toping.
Masala 2. (1.6) munosabatni qanoatlantiradigan C[ ] va An koeffitsientlarini toping.
Shuni ta'kidlash kerakki, ko'plab matematiklar kubatura va kvadratura formulalari nazariyasining rivojlanishiga hissa qo'shganlar, ular orasida S. L. Sobolev, I.P. Mysovskix, V. I. Lebedev, M. D. Ramazanov, G. N. Salixov, V. I. Polovinkin, M. V. Noskov, V. L. Vaskevich va boshqalar. Qog'oz quyidagicha tashkil etilgan: 2-bo'limda biz xatolik normasining funktsional (1.2) tasvirini beramiz va L(m) fazodagi optimal kvadratura formulalari koeffitsientlari uchun chiziqli tenglamalar tizimini olamiz.
2 (0; 1). Bundan tashqari, ushbu tizim yechimining mavjudligi va o'ziga xosligi muhokama qilinadi; 3-bo'limda d2m=dx2m operatorining diskret analogidan foydalangan holda optimal kvadratura formulalari (1.1) koeffitsientlari uchun aniq formulalar topiladi va funksional xatolik normasi (1.2) hisoblanadi.
2. Optimal koeffitsientlar uchun tenglamalar tizimi
1-masalani yechish uchun funksional xatolik normasi uchun quyidagi ifodani olamiz (1.2) [23]

Bundan tashqari, 2-masalani hal qilish uchun biz Lagrange usulini qo'llaymiz, ya'ni (1.5) shartlarda ∥ℓ∥2 minimalini topish uchun quyidagi funktsiyani ko'rib chiqamiz.

noma'lum ko'paytmalar qayerda. Funktsiya C[ ] koeffitsientlariga nisbatan ko'p o'lchovli funktsiyadir; An va . C[ ] koeffitsientlariga nisbatan qisman hosilalarini belgilash; An dan nolga va (1.5) shartlarni hisobga olgan holda quyidagi chiziqli tenglamalar tizimini olamiz


(2.2)–(2.7) sistema optimal koeffitsientlar uchun Wiener-Hopf tipidagi diskret sistema deyiladi [24,26]. Koeffitsientlar C[ ]; = 0;N, An va ; = 0;m  1 sistemaning noma’lumlari (12)–(17).
(2.2)–(2.7) tizim yagona yechimga ega va bu yechim minimal ∥ℓ∥2 ni beradi. Bu erda biz ushbu tizim yechimining mavjudligi va o'ziga xosligini isbotlashni chetlab o'tamiz. ning isboti
Ushbu tizim yechimining mavjudligi va yagonaligi, optimal koeffitsientlar uchun diskret Wiener-Hopf tipidagi tizim yechimining mavjudligi va yagonaligini isbotlash bilan mos keladi.
shaklning kvadrat formulalari uchun L(m)2 (0; 1) bo'sh joy
∫10f(x)dx =NO =0 C[ ]f[ ] (qarang: [24, 26]). Shuni ta'kidlash kerakki, Sard ma'nosida optimal kvadratura formulalarining o'ziga xosligi
ham muhokama qilindi [9].