Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

9.2 Chiziqli integralni hisoblash
1. chiziq parametrik ko'rinishda berilgan bo’lsin. U holda chiziqli integral quyidagicha hisoblanadi:

1. 
   Chiziqli integralni koordinatalar ko‘rinishida yozish
   

2. 
   funksiyalarda larni lar bilan almashtirish;
   
3. 
   larni mos ravishda lar bilan almashtirish;
   
4. 
   Parametr ning o‘zgarish oralig‘ini topish va hosil bo’lgan aniq integralni hisoblash.
   

2. chiziq tekislikda berilgan bo'lib, uning tenglamasi bo’lsa, u holda chiziqli integral quyidagicha hisoblanadi:

1. 
   Chiziqli integralni koordinata shaklida yozish:
   

2. 
   funksiyalarda ni bilan almashtirish;
   
3. 
   ni bilan almashtirish;
   
4. 
   Hosil bo‘lgan aniq integralni oraliqda hisoblash.
   

Agar vektor maydon ko‘rinishda bo‘lsa, tenglikdan uni differensiallasak kelib chiqadi. Demak, bunday maydonlar uchun chiziqli integral ( )

aniq integralga keltiriladi.
1-misol: vektorning nuqtadan nuqtaga tomon yo’nalgan chiziq bo’yicha olingan chiziqli integralini toping.
Yechish: vektorning chiziq bo‘yicha olingan chiziqli integrali quyidagi formuladan topiladi:

Bu integralni hisoblash uchun to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Bu yerdan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz:


Berilgan nuqtalardan va to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalaridan foydalanib, ning o‘zgarish oralig‘ini topamiz: . Va chiziqli integralni hisoblaymiz:


2-misol: maydonning chiziq bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping. - parabola yoyi, - siniq chiziq (9.2.1-chizma).
(9.1.1-chizma)
Yechish: Sirkulyatsiyani

formuladan aniqlaymiz. kesmada: . Shuning uchun,

kesmada . Shuning uchun,

yoyda . Shuning uchun,

Shunday qilib,

4-misol: maydonning markazi koordinata boshida joylashgan radiusi ga teng bo‘lgan soat mili yo‘nalishiga qarshi yo‘nalish bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping (8.1.2-chizma).
Yechish: Sirkulyatsiyani

formuladan aniqlaymiz. Bu integralni hisoblash uchun aylananing parametrik tenglamasini yozamiz:
. Bundan .
Shuning uchun