Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

2.3.1-masala: Quyidagi masalani Fur’ye usulida yeching:

u_tt=u_xx+u, (0

u|_x=0=0, u|_x=l=t,

u|_t=0=0, u_t|_t=0= .

Chegaraviy shartlar noldan farqli bo‘lgni uchun, yechimni ko‘rinishda qidaramiz, bu yerda , . U holda , yechim esa (*) ko‘rinishda bo‘ladi. Yechimdagi funksiya quyidagi masalani qanoatlantiradi:

v_tt=v_xx+v+ , (0

v|_x=0=0, v|_x=l=0,

u|_t=0=0, u_t|_t=0=0

Berilgan tenglamaning - xos sonlarini va xos funksiyalarini aniqlaymiz. Shunga asosan yechimni quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:

.

Tenglamaning ozod hadi funksiyani Fur’ye qatoriga yoyamiz:

.

- Fur’ye koeffisiyentlarini quyidagi formula yordamida aniqlaymiz:

.

Integralni bo‘laklab integralymiz. Natijada

.

Noma’lum funksiya uchun quyidagi Koshi masalasini olamiz:

masalani yechishda, dastlab, tenglamaning yechimini quyidagi ko‘rinishda qidiring: , bu yerda - berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi, - berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo‘lib, o‘ng tomonga qarab tanlanishi mumkin, bizning holimizda, ko‘rinishda qidirish mumkin.

Masalani yechib, natijada yechimini aniqlaymiz:

.

Berilgan masalaning yechimi esa:

bo‘ladi.

2.3.2-masala: Quyidagi masalani Fur’ye usulida yeching:

u_t=u_xx+u, 0

u|_x=0=0, u|_x=l=0,

u|_t=0=13x.

Dastlab, tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:

,

bu funksiyalr aynan nolga teng emas va chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.

Funksiyani masaladagi tenglamaga qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:

, , (*)

bu yerda .

Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:

. (**)

Natijada biz Shturm-Liuvill (*)-(**) masalasiga kelamiz.

Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:

.

bo‘lganda:

,

shuning uchun

funksiya har qanday uchun berilgan masalani qanoatlantiradi.

Berilgan masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:

.

doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki qator yig‘indisi boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tenglikga kelamiz:

,

bu tenglik funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmaning koeffisiyentlari quyidagi formula bilan topiladi:

koeffisiyentlarni aniqlash uchun integralni bo‘laklab integrallaymiz, natijada: . U vaqtda izlanayotgan yechim quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

.