Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

Kurs ishining dolzarbligi. Matematik fizikaning bir qator masalalari Shturm-Liuvill operatorining xos qiymatlari va ortonormallangan xos funksiyalarini topishga keltiriladi. Shu sababdan bu masalaning qo‘yilishi dolzarb hisoblanadi.
Kurs ishining obyekti va predmeti. Shturm-Liuvill tenglamasi, chegaraviy masala, xos son, xos funksiya.
Kurs ishinig maqsadi va vazifalari. Shturm-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalarni topishni, ularning xossalarini o‘rganishdan iborat.
Kurs ishi usuli va uslubiyoti. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar va ularga qo‘yilgan chegaraviy masalalarni yechish.
Olingan asosiy natijalar. Shturm-Liuvill masalasi, xos qiymat, xos funksiyalar xossalari o‘rganildi. Ba’zi bir matematik fizika tenglamalarini yechish uchun Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari qurildi, Shturm-Liuvill masalasi uchun Grin funksiyasini qurish o‘rganildi.
Natijalarning ilmiy yangiligi va amaliy ahamiyati. Kurs ishi referativ xarakterga ega, matematik fizika tenglamalariga qo‘yilgan masalalarni yechishga tadbig‘i ishning amaliy ahamiyatini ko‘rsatadi.
Tadbiq etish darajasi. Kvant fizikasi, elektronika, chiziqli va nochiziqli xususiy hosilali tenglamalar nazariyasi, mexanika, kristallografiya, geologo-razvedka masalalarida muhim tadbiqlari topilganligi bois bu mavzu dolzarbligi yanada ortdi.
Kurs ishidan maqsad. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi-ning xos qiymatlari va normallovchi o‘zgarmaslariga yoki spektral funksiyasiga uning spektral xarakteristikasi deyiladi.
Spektral xarakteristikalarni topish va ularning xossalarini o‘rganish masalasiga spektral analizning to‘g‘ri masalasi deyiladi. Ishdan maqsad shu to‘g‘ri masalani o‘rganishdir.
Kurs ishining hajmi va tuzilishi. Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa va adabiyotlar ro`yxatidan iborat. Kurs ishining hajmi 52 bet.

I. BOB. CHEGARAVIY MASALALAR

1.1. Chegaraviy masalalarning qo`yilishi

Biz birinchi va yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi qo‘yilishini o‘rganganmiz. Endi xuddi shu tenglamalar uchun chegaraviy masalalarning qo‘yilishini o‘rganamiz. Koshi masalasining geometrik ma’nosi berilgan nuqtadan o‘tadigan integral chiziqni izlashdan iborat. Shu interal chiziq yana boshqa shartlarni qanoatlantiradimi yoki yo‘qmi, bu bizni qiziqtiradi.
Agar intervalda aniqlangan funksiya differensial tenglamaning ushbu
, , ..., , (1.1.1)
shartni qanoatlantiradigan yechimi bo‘lsa, tenglamaning shu yechimi yana
, , ..., , , (1.1.2)
shartni qanoatlantiradimi?, degan savol tug‘iladi. Bunda funksiyaning aniqlanish sohasi ochiq to‘plamdan iborat bo‘lib, , shartlar albatta bajariladi.Aks holda qo‘yilgan savolning ma’nosi bo‘lmaydi.
Savolga javob berish uchun (1.1.1) shart bilan to‘la aniqlangan ma’lum funksiya va uning hosilalarini nuqtada hisoblab, (1.1.2) shartni tekshirish lozim. Savol doim yuqoridagi kabi qo‘yilmasligi ham mumkin. Noma’lum funksiya va hosilalarining va nuqtalardagi qiymatlaridan tuzilgan ta munosabat bajarilishini talab etish ham mumkin. Shu munosabat bilan quyidagi masalani qo‘yamiz.
Chegaraviy masalaning qo‘yilishi: agar ushbu
(1.1.3)
tenglama va
(1.1.4)
munosabatlar berilgan bo‘lsa, (1.1.3) tenglamaning shu (1.1.4) munosabatlarni qanoatlantiradigan yechimini izlash chegaraviy masala deyiladi. Bu masala Koshi masalasiga qaraganda umumiy bo‘lib, undan bo‘lganda Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar bo‘lib,
(1.1.5)
bo‘lsa, ikkinchi tartibli tenglamaning integral chizig‘i boshlang‘ich va tugal shartni qanoatlantirishi lozim bo‘ladi. Yana agar bo‘lib
(1.1.6)
bo‘lsa, bu ham tez-tez uchraydigan chegaraviy shartidan iborat. Ba’zi hollarda yechim davriyligining chegaraviy sharti deb yuritiladi. Va ( )
(1.1.7)
ko‘rinishdagi shart ham uchraydi.
1.1.1-misol. Absissa o‘qi bo‘ylab uning musbat yo‘nalishida harakat qilayotgan ob’yekt (nuqta) I chorakda harakat qilishi mumkin bo‘lgan nuqta tomonidan quvlanishi kerak. Quvlovchining tezligi , qochuvchiniki esa . Agar bo‘lsa, chekli vaqtda quvlovchi qochuvchini quvib yetishi kerak. Quvlovchining differensial tenglamasi esa
(1.1.8)
ko‘rinishda. Agar , , desak, chegaraviy masalaga (quvlovchi uchun) kelamiz. (1.1.8) tenglamaning umuniy yechimi

bo‘lgani uchun chegaraviy shartlardan , kelib chiqadi. Demak,

yechim chegaraviy masala shartlarini qanoatlantiradi.
Bir jinsli chegaraviy masala. Chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi muhim rol o‘ynaydi. Bu mavzuga tegishli ba’zi ma’lumotlarni bayon etish uchun (1.1.4) munosabatlarda funksiyalar o‘z argumentlariga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo‘lgan holni qaraymiz. Aniqrog‘i funksiyalar quyidagi
(1.1.9)
(bunda - o‘zgarmas) ko‘rinishda bo‘lsin. Agar ( ) bo‘lsa, qo‘yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar bo’lsa, u bir jinsli bo‘lmagan masala bo‘ladi.
tartibli chiziqli bir jinsli
(*)
tenglama (1.1.9) chegaraviy shartlardan berilgan bo‘lsin, (*) va (1.1.9) munosabatlarni bo‘lganda qanoatlantiradigan funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli chegaraviy masala deyiladi.
Ravshanki, har bir bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trivial yechimga, ya’ni , yechimga ega. Ammo bir jinsli chegaraviy masala trivial bo‘lmagan yechimlarga ham ega bo‘lishi mumkin. Shu munosabat bilan quyidagi teoremani keltiramiz.
1.1.1-teorema. Agar , funksiyalar (*) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo‘lsa, u holda , masala trivialmas yechimga ega bo‘lishi uchun
(1.1.10)
determinantning nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Teoremaning shartiga ko‘ra funksiyalar oraliqda chiziqli erkli yechimlar. Shuning uchun bo‘lganda (*) tenglamaning barcha yechimlari

formula bilan beriladi. Jumladan, , shartni qanoatlantiruvchi yechimi han shu formula bilan beriladi. Shu sababli
, (1.1.11)
munosabatlarga egamiz, ya’ni

yoki
(1.1.12)
Endi bir jinsli tenglama bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivialmas yechimga ega deylik. Unda bo‘ladi. Shuning uchun (1.1.12) dan , o‘zgarmaslar topiladi. Demak, ushbu funksiya trivialmas bo‘lib, bir jinsli chegaraviy masala shartlarini qanoatlantiradi. Teorema isbotlandi.
1.1.1-eslatma. Agar chegaraviy shartdan , bo‘lsa, u holda bir jinsli chegaraviy masala trivialmas yechimga ega; agar ( ) matrisa rangi ( ) ( ) bo‘lsa, u holda bir jinsli chegaraviy masala larga nisbatan qat’iy ( ) ta chiziqli erkli yechimga ega bo‘ladi. Bu tasdiqlarning isboti ravshan.
1.1.2-eslatma. ( ) matrisaning rangi fundamental sistema ni tenglashga bog‘liq emas. Haqiqatan, bir fundamental sistemadan ikkinchi fundamental sistemaga o‘tish chiziqli almashtirish yordamida, ya’ni ushbu
,
formula bilan amalga oshiriladi, bunda lardan tuzilgan determinant noldan farqli. Almashtirish natijasida ( ) matrisa ( ) matrisaga ko‘paytiriladi. Shuning uchun ( ) matrisaning rangi o‘zgarmaydi. ( ) matrisa rangi chegaraviy masala rangi deyiladi.
Bir jinsli chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi. Differensial ifoda quyidagi ko‘rinishda bo‘lsin:
(1.1.13)

1.1.1-ta’rif. Ushbu

, , (1.1.14)
chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi deb, shunday funksiyaga aytiladiki, u funksiya yopiq sohada aniqlangan bo‘lib, oraliqdan har bir uchun ning funksiyasi sifatida quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
. funksiya va bo‘yicha oraliqda uzluksiz, bo‘yicha -tartibgacha uzluksiz differensiallanuvchi;
. dan olingan ixtiyoriy tayinlangan uchun funksiya bo‘yicha va oraliqlarning har birida - va tartibli hosilalarga ham ega, ammo - tartibli hosilasi nuqtada chekli uzilishga ega, ya’ni:
(1.1.15)
. va intervallarning har birda ning funksiyasi sifatida funksiya (1.1.14) munosabatlarni qanoatlantiradi, ya’ni , , .

1.1.2-teorema. Agar (1.1.14) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda shu masala uchun yagona Grin funksiyasi mavjud.

Isbot. , funksiyalar tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo‘lsin. U holda bu tenglamaning barcha yechimlari formula bilan yoziladi. Shuning uchun larning biror qiymatida bu formuladan funksiyani hosil qila olsak, teorema isbot bo‘lgan bo‘ladi. Grin funksiyasi mavjud bo‘lsa, intervalda
,
intervalda esa

munosabatlar o‘rinli bo‘lishi kerak. Bundan tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgani uchun bo‘lganda ushbu
,
,
…

tengliklarga ega bo‘lamiz; tartibli hosila uchun

tenglikka egamiz. Agar desak, yuqoridagi tengliklar quyidagicha yoziladi:
(1.1.16)
Bu sistemaning determinanti chiziqli erkli ( ) funksiyalar Vronskiy determinantining nuqtadagi qiymatidan iborat. Ma’lumki bu holda . Shuning uchun (1.1.16) sistema determinanti noldan farqli bir jinsli bo‘lmagan sistema sifatida yagona yechimga ega. Shu yechimni deb belgilaymiz. Demak (1.1.16) sistema larni bir qiymatli aniqlaydi. Endi bo‘lgani uchun va larni aniqlash bilan shug‘ullanamiz. Bu koeffitsiyenlarni chegaraviy shartlardan foydalanib topamiz. Uning uchun ni bunday yozamiz:
(1.1.17)
bu yerda
.
Agar (1.1.17) da o‘rniga funksiyani qo‘ysak,

tenglikka kelamiz. Bunda lar o‘rniga larni qo‘yamiz:

Bundan (1.1.17) ga ko‘ra
(1.1.18)
kelib chiqadi. Agar desak, (1.1.18) dan larga nisbatan ta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu bir jinsli bo‘lmagan sistema, chunki
va [( );( )]. Agar bo‘lsa, (1.1.18) dan , kelib chiqadi. Bu holda teoremaning isboti ravshan.
Endi holni qaraylik. Bunda 1.1.1-teoremaga ko‘ra (1.1.16) sistemaning determinanti ( larga nisbatan) noldan farqli. Demak, larning yagona qiymatini topa olamiz. O‘sha qiymatlarni desak, lar formulalar bilan topiladi. va , lar uchun topilgan qiymatlarni tegishli ifodaga qo‘ysak, uchun
(1.1.19)
formulaga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, Grin funksiyasining mavjudligi isbot etildi. Bu teoremaning isboti tegishli Grin funksiyasini qurish usulini ham o‘z ichiga oladi.
Bir jinsli chegaraviy masala chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama uchun qo‘yilgan bo‘lsin, ya’ni ushbu
, , (1.1.20)
masala ko‘rilayotgan bo‘lsin. Bu masalaning yechimini quyidagi teorema beradi.
1.1.3-teorema. Agar (1.1.14) masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda oraliqda uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy funksiya uchun (1.1.20) masalaning yechimi mavjud. Bu yechim ushbu
( Grin funksiyasi) (1.1.21)
formula bilan ifodalanadi.
Isbot. (1.1.21) formula bilan aniqlangan biror funksiyani olaylik. Bu funksiya (1.1.20) masalaning yechimi ekanini, ya’ni ushbu
(1.1.22)
, (1.1.23)
Ayniyatlar o‘rinli ekanini isbotlaymiz. Avval (1.1.23) ni ko‘rsataylik. funksiyaning ta’rifiga ko‘ra olingan funksiya tartibgacha uzluksiz differensiallanuvchi. Shuning uchun hosilalari
(1.1.24)
kabi yozish mumkin. (1.1.24) formulani da quyidagicha yozamiz:

Bundan yana bo‘yicha hosila olamiz:

Ammo funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun oxirgi ifoda soddalashadi:
(1.1.25)
Bu formulalardan yana bir marta differensiallab, quyidagi ifodani topamiz:
(1.1.26)
Ma’lumki, ifoda va uning tartibgacha hosilalarining va nuqtadagi qiymatlarini o‘z ichiga oladi. Shunga ko‘ra, (1.1.21), (1.1.24), (1.1.25) lardan sodda o‘zgartirishlar yordamida quyidagiga ega bo‘lamiz:

funksiya ta’rif bo‘yicha ( ) chegaraviy shartni qanoatlantiradi, ya’ni . Shuning uchun oxirgi integral nolga teng va , munosabatlarga egamiz. Bundan olingan funksiya oraliqda chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Demak, (1.1.23) isbot etildi. Endi (1.1.21) ni isbot etamiz. Teoremaning shartiga ko‘ra (1.1.14) masala faqat trivial yechimga ega. 1.1.2-teoremadan ekani chiqadi. Shuning uchun olingan funksiya hosilalarining o‘rniga (1.1.24), (1.1.25), (1.1.26) formulalardan foydalanib, ifodasini differensial ifodaga qo‘yamiz:

Demak, intervalda ayniyat o‘rinli. Shunga o‘xshash intervalda ha shu ayniyat o‘rinli ekanini ko‘rsatiladi. Shunday qilib, intervalda uzluksiz funksiya uchun olingan funksiya (1.1.20) chegaraviy masalaning yechimi bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala.
(1.1.9) formulada bo‘lsin. Biz bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalani ko‘raylik. Bu holda asosiy xossasini quyidagi teorema ifoda etadi.
1.1.4-teorema. Ushbu tenglama bir jinsli bo‘lmagan shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega bo‘lishi uchun mos bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalaning yechimi funksiya bo‘lsin. Unda , , ayniyatlar o‘rinli bo‘ladi. Bir jinsli differensial tenglamaning fundamental sistemasi funksiyalardan iborat bo‘lsin. U holda ixtiyoriy yechim

formula bilan yoziladi. O‘zgarmas larning biror qiymatida yechim hosil bo‘lsin deylik, ya’ni . Bu funksiyani bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartga qo‘yamiz. Sodda o‘zgarishlar natijasida quyidagini hosil qilamiz:

Demak, ushbu
(1.1.27)
sistemaga egamiz. Bu sistemaning determinanti ((1.1.10 )ga qarang), chunki , . Ammo bo‘lganda mos bir jinsli chegaraviy masala 1.1.1-teoremaga ko‘ra faqat trivial yechimga ega bo’ladi.
Yetarliligi. Bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsin. U holda bo‘ladi. Demak (1.1.27) ga ko‘ra bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala yagona trivialmas yechimga ega, chunki (1.1.27) da tengsizlikni qanoatlantiradigan o‘zgarmaslar bir qiymatli topiladi. Teorema to‘la isbot bo‘ldi.
1.1.1-natija. Agar bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala ikkita va , yechimga ega bo‘lsa, u holda funksiya mos bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimi bo‘ladi, aksincha, agar bir jinsli chegaraviy masala trivialmas yechimlarga ega bo‘lsa, u holda bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala yo bironta ham yechimga ega bo‘lmaydi yoki cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘ladi.
Isbot. Avval natijaning birinchi qismini isbotlaymiz.
Ravshanki, , va demak, , yana shunga o‘xshash ( ) munosabatlardan kelib chiqadi. Shuning uchun bir jinsli chegaraviy masala , uchun trivialmas yechim bo‘ladi.
Endi agar bir jinsli chegaraviy masala trivialmas , yechimga ega bo‘lsa, bo‘ladi. (1.1.10 ga qarang). U holda (1.1.27) sistema yo yechimga ega bo‘lmaydi yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.
Natija isbot etildi.
Endi chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamani olaylik, ya’ni , shu bilan birga bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shart ham berilgan bo‘lsin. Boshqacha aytganda, ushbu
(1.1.28)
bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalani ko‘raylik. Bu masalaning yechimi haqida fikr yurutish uchun avval shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani olamiz. So‘ngra almashtirishni bajaramiz. Bu funksiya uchun
,
ya’ni
(1.1.29)
bir jinsli chegaraviy shartga ega bo‘lamiz. Berilgan differensial tenglama ( funksiyaga nisbatan)

yoki
(1.1.30)
ko‘rinishga keladi. Endi (1.1.30), (1.1.29) bir jinsli chegaraviy masalani ko‘rish mumkin. 1.1.3-teoremaga ko‘ra, agar , masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda oraliqda uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy funksiya uchun (1.1.30), (1.1.29) masalning yechimi mavjud va
(1.1.31)
ko‘rinishda yoziladi. Agar funksiya mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda , bo‘ladi va (1.1.31) formula ko‘rinishda yozilishi mumkin.
Shunday qilib quyidagi teorema isbot etildi.
1.1.5-teorema. Bizga (1.1.28) bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala berilgan bo‘lsin. oraliqda uzluksiz bo‘lgan va bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani deylik. U holda, agar , masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda (1.1.28) masala yechimga ega va bu yechim ushbu
(1.1.31’)
(bunda ) formula bilan beriladi. Agar , ( ) munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda va (1.1.28) masalaning yechimi
(1.1.31’’)
ko‘rinishda yoziladi.