Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

II BOB. CHEKLI ORALIQLARDA BERILGAN SHTURM-LIUVILL MASALASI

2.1. Shturm–Liuvill tenglamasi uchun qo`yilgan Koshi masalasi

Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari
Quyidagi masalaga
(2.1.1)
(2.1.2)
Shturm – Liuvill chegaraviy masalasi deyiladi. Bu yerda haqiqiy uzluksiz funksiya bo`lib, va berilgan haqiqiy sonlardir, esa kompleks parametr.
Agar (2.1.1) tenglamani chegaraviy shartlar bilan qarasak, hosil bo`ladigan chegaraviy masalaga Dirixle masalasi deyiladi, agar chegaraviy shartlar bilan qarasak, hosil bo`ladigan chegaraviy masalaga Neyman masalasi deyiladi.
(2.1.1) tenglamaning koeffitsiyentga (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill masalaning potensali deyiladi.
2.1.1-ta`rif. Agar parametrning biror qiymatida (2.1.1)-(2.12) chegaraviy masala noldan farqli yechimga ega bo`lsa, songa (2.1.1)-(2.12) chegaraviy masalaning xos qiymati deyiladi, yechimga ega xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya deyiladi.
(2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill masalasining barcha xos qiymatlaridan tuzilgan to`plamga uning spektri deyiladi.
2.1.1-xossa. va funksiyalar tenglamaning iqtiyoriy yechimlari bo`lsin. U holda ulardan tuzilgan

Vronskiy determinanti o`zgaruvchiga bog`liq bo`lmaydi.
Isbot. Buning uchun ushbu
,
tenglik bajarilishini ko`rsatish yetarli:

2.1.2-xossa (2.1.1) tenglamaning ikki yechimi chiziqli bog`liq bo`lishi uchun ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti nolga teng bo`lashi zarur va yetarli.
Isbot. Ushbu

ayniyatdan quyidagi
const
munosabatning bajarilashi uchun
bo`lishi zarur va yetarli ekani kelib chiqadi.
2.1.3-xossa (Grin ayniyati). Ixtiyoriy funksiyalar uchun ushbu

ayniyat bajariladi.
Isbot. Quyidagi ayirmani hisoblaymiz:

2.1.4-xossa. Ixtiyoriy funksiyalar uchun ushbu
(2.1.3)
tenglik bajariladi.
Isbot. Grin ayniyatidagi ifodani kerakli ko`rinishda yozamiz. Buning uchun quyidagi sistemani tuzib olamiz:

va undan ushbu

tengliklarni hosil qilamiz. Bularni grin ayniyatiga qo`ysak, (2.1.3) tenglik hosil bo`ladi.
2.1.1-natija. Agar bo`lib, funksiya (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, u holda

tenglik bajarilishi uchun funksiya ham (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir.
Yuqoridagi natija, (2.1.1)-(2.12) chegaraviy masala yordamida aniqlangan chiziqli operator Gilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorni ifodalashini ko`rsatadi.
2.1.5-xossa (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill masalasining xos qiymatlari haqiqiydir.
Isbot. son (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati bo`lsin deb faraz qilaylik va unga xos keluvchi xos funksiyani bilan belgilaylik. u holda son ham shu chegaraviy masalasining xos qiymati bo`ladi va unga xos funksiya mos keladi. Quyidagi

tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid.
2.1.2-natija. Xos funksiyani haqiqiy qilib tanlash mumkin, chunki xos qiymat haqiqiy ekanligidan qaralayotgan tenglamaning haqiqiyligi kelib chiqadi. Chegaraviy shartlar esa hamisha haqiqiy.
2.1.6-xossa (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill masalasining turli xos qiymatlariga mos keluvchi xos funksiyalari o`zaro ortoganaldir, ya`ni xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalar uchun ushbu
(2.1.4)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isbot. Ushbu

ayniyatda bo`lgani uchun (2.1.4) tenglik o`rinli bo`lishligi kelib chiqadi.
2.1.7-xossa. (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy (karrasiz), ya`ni bitta xos quymatga mos keluvchi xos funksiyalar bir-biriga proporsionaldir.
Isbot. xos qiymatga chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi deb faraz qilaylik. U holda

Bo`lgani uchun, chiziqli bog`liq bo`ladi. Bu esa farazimizga ziddir.
2.1.8-xossa. funksiya Shturm–Liuvill tenglamasining bo`yicha uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy yechimi bo`lsin. U holda

tenglik bajariladi. Bu yerda
Isbot. Ushbu
(2.1.5)
ayniyatdan bo`yicha hosila olsak,
(2.1.6)
tenglik kelib chiqadi. (2.1.5) va (2.1.6) tengliklarni mos ravishda funksiyalarga ko`paytirib, bir-biridan ayirsak, ushbu

Ayniyat hosil bo`ladi. Bu tenglikni kesmada integrallasak, ushbu

formula kelib chiqadi.
2.1.9-xossa. Agar quyidagi chegaraviy masalaninig

Xos qiymatlari va xos funksiyalari bo`lsa, u holda ushbu
(2.1.7)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari va xos funksuyalari bo`ladi. Bu yerda o`zgarmas son.
Isbot. Ushbu

Chegaraviy masala noldan farqli yechimda ega bo`lishi uchun bo`lishi zarur va yetarli. Shartga ko`ra, bu holda oxirgi chegaraviy masala yechimga ega. Demak (2.1.7) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari bo`ladi.
(2.1.1) differensial tenglamaning quyidagi boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz. Xuddi shuningdek, (2.1.1) tenglamaning ushbu boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilab olamiz. Bu yerda yechim (2.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi, yechim esa ikkinchisini qanoatlantiradi. Bu va yechimlarini mos ravishda (2.1.2) chegaraviy shartlardan ikkinchisiga va birinchisiga qo`yib, ushbu

Tenglamalarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarga (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik tenglamalari deyiladi. Shturm–Liuvill tenglamasining va yechimlaridan tuzilgan ushbu

vronskiy determinantini qaraymiz. Biz yuqorida bu determinant o`zgaruvchiga bog`liq emasligini ko`rsatgan edik. Shuning uchun ushbu

tengliklarni yozishimiz mumkin. Bu tengliklardan

kelib chiqadi. Bu yerdagi funksiyalar o‘zgaruvchining butun funksiyalari bo’lib, sanoqlita nollarga ega ekanligini keyinchalik ko‘rsatamiz.
xarakteristik tenglamaning , ildizlari Shturm-Liuvill chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan iborat bo‘lib, va funksiyalar uning xos funksiyalri bo‘ladi va ushbu
(2.1.8)
tenglik bajariladi. Haqiqatan ham soni tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda bo‘lgani uchun (2.1.8) tenglik o‘rinli bo‘ladi. va funksiyalar (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bundan esa son xos qiymat hamda va funksiyalar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos funksiyalari ekanligi kelib chiqadi.
2.1.1-izoh. Odatda, agar (2.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi ushbu ko‘rinishda bo‘lsa, u holda yechim boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi. Agar (2.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi ko‘rinishda bo‘lsa, u holda yechim boshlaang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi.
Agar soni Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining cos qiymati bo‘lib, unga mos keluvchi xos funksiya bo‘lsa, u holda va qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘ladi, aks holda yechimning yagonaligi haqidagi Koshi teoremasidan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa xos funksiya ta’rifiga ziddir. Xuddi shuningdek va qiymatlaridan kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi ko‘rsatiladi.
Quyidagi
,
sonlarga (2.1.1)-(2.1.2) chegaraviy masalaning normallovchi o‘zgarmaslari deyiladi. (2.1.1)-(2.1.2) masalaning ortonormallangan xos funksiyalari quyidagi tengliklardan topiladi:
, .
2.1.2-ta’rif. Ushbu , sonli ketma-ketliklar juftligiga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari (spektral xarateristikalari) deyiladi.
2.1.3-ta’rif. Monoton o‘suvchi chaodan uzluksiz ushbu
(2.1.9)
funksiya Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasi deyiladi.
2.1.10-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining normallovchi o‘zgarmaslari uchun ushbu
(2.1.10)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda

funksiya (2.1.1)-(2.1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik funksiyasi, funksiya (2.1.1) tenglamaning boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidir.
2.1.3-natija. (2.1.8) tenglikdan foydalanib, (2.1.10) tenglikni qyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

2.1.4-natija. (2.1.10) formuladan (2.1.1)-(2.1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining

xarakteristik funksiyasi karrali ildizga ega emasligi kelib chiqadi.
Quyidagi Koshi masalasini ko‘rib chiqamiz:
(2.1.11)
(2.1.12)
Bu yerda haqiqiy funksiya bo‘lib, ixtiyoriy haqiqiy sonlar. (2.1.11)-(2.1.12) Koshi masalasiga ekvivalent bo‘ladigan inetgral tenglama tuzamiz. funksiya (2.1.11)-(2.1.12) masalaning biror yechimi bo‘lsin. (2.1.11) tenglamani avvalo ushbu
(2.1.13)
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda
(2.1.14)
So‘ngra (2.1.13) tenglama uchun Koshi funksiyasini tuzamiz, ya’ni tarkibida parametr qatnashgan ushbu

Koshi masalasining yechimini topamiz;



Shuning uchun (2.1.13) tenglamaning umumiy yechimi
(2.1.15)
ko‘rinishda bo‘ladi. (2.1.12) boshlang‘ich shartlardan
(2.1.16)
Bo‘lishi kelib chiqadi. (2.1.14) va (2.1.16) tengliklardan foydalanib, (2.1.15) ayniyatni ushbu
(2.1.17)
ko‘rinishda yozamiz. (2.1.17) tenglik izlangan integral tenglamadir. Bu tenglama Volterraning ikkinchi turdagi integral tenglamasidir.
Shunday qilib, (2.1.11)-(2.1.12) Koshi masalasinig yechimi mavjud bo‘lsa, u (2.1.17) integral tenglamani qanoatlantirar ekan. Aksincha, funksiya (2.1.17) integral tenglamaning uzluksiz yechimi bo‘lsa, u (2.1.11)-(2.1.12) koshi masalasining ham yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham, uzluksiz ekanligidan (2.1.17) ayniyatning o‘ng tomoni differensiallanuvchi bo‘lishi kelib chiqadi, bundan esa chap tomon ham hosilaga ega bo‘lishi ko‘rinadi. Undan hosila olsak, ushbu
(2.1.18)
tenglik hosil bo‘ladi. (2.1.18) ayniyatdan yana hosila olsak,
,
ya’ni

tenglik kelib chiqadi. (2.1.17) va (2.1.18) tengliklardan desak, (2.1.12) boshlang‘ich shartlarni olamiz.
2.1.1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda (2.1.11)-(2.1.12) Koshi masalasinig kesmada aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo‘lib, u o‘zgaruvchining har bir tayinlangan qiymatida bo’yicha tartibdagi butun funksiyadir, ya’ni tayinlangan da funksiya kompleks tekislikning ixtiyoriy chegaralangan sohasida kompleks ma’noda differensiallanuvchidir.
Ushbu teoremaning isbotini keltirmaymiz.
2.1.2-teorema. Ixtiyoriy kompleks da (2.1.11) tenglama yechimlaridan tuzilgan chiziqli fazoning o‘lchami ikkiga teng.
Isbot. Bu tasdiqning isboti 2.1.1-teorema va 2-xossadan kelib chiqadi.