Shartli matematik kutilma va uning xossalari

_{1+ x}

2 ⎡¹ x ^∞ dx ⎤ 1 1
= π⎢⎣0∫1+ x2 dx + 1∫ 1+ x2 ⎦⎥ = 2 +πln2
Bu yerda
^∞ dx π
1 ∫ 1+ x2 = ₄
ekanligi hisobga olindi.
2. Umumlashgan Chebishev tengsizligi. Yuqoridagi teorema 1 ning tatbiqi sifatida quyidagi teoremani keltiramiz.
Teorema 2. Funksiya g x( ) −manfiy bo‘lmagan va kamaymaydigan bo‘lsin. Bu holda, har qanday ε> 0 uchun Eg(ξ) . P(ξ ε> ) ≤  g( )ε
Agar F(x) = P(ξ< x) bo‘lsa, yuqoridagi (1) formulaga asosan
∞ ∞
Eg( )ξ = ∫ g x dF x( ) ( )≥ ∫ g x dF( ) ( )x ≥
ε
≥ g( )ε ∫ dF x( ) = g( ) (ε ξP >ε).
ε
Oxirgi tengsizliklardan teorema 2 ning isbotini olamiz. Xususan, ξ manfiy bo‘lmagan tasodifiy miqdor bo‘lsa, g x( ) = x deb olib,
P
Chebishev tengsizligiga ega bo‘lamiz.
Tasodifiy vektorlar funksiyalarining matematik kutilmasi. (Ω,_F ,_P) ehtimollik fazosida
ξ(ω ξ) = ( ₁(ω),...,ξ_k (ω))
tasodifiy vektor aniqlangan bo‘lsin. Agar R^k ni R ga akslantiradigan g x( ) = g x( ₁,...,x_k)
Borel funksiyasi berilgan bo‘lsa,
g x( ) = g(ξ₁(ω ξ)^,..., _k (ω))
tasodifiy miqdor bo‘lib, uning matematik kutilmasi
Eg( ) g . (4)
Bu (4) integralni R^k dagi ξ tasodifiy vektorning taqsimoti P_ξ(⋅) bo‘yicha (Lebeg integrali ma’nosida)
Eg( )ξ = ∫ g x P dx( ) _ξ( ), x = (x₁,...,x_k )∈R^k, (5)
Rk
ko‘rinishda yozish mumkin.
Agar ξ vektorning komponentlari
ξ1(ω ξ),..., k(ω)
bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, (5) integralni muayyan ravishda hisoblash imkoniyatlari yuzaga keladi. Qulaylik uchun k = 2 holni ko‘ramiz. Agar to‘plam
B = B1× B2 ={(x x1 2, ),x1∈B x1 2, ∈B2}⊂ R²
bo‘lsa (bu yerda B₁ va B₂ lar R dagi o‘lchovli to‘plamlar),
^P_ξ(B) = P(ξ∈B) = P(^{ξ ξ}1∈^B1 2, ∈^B2) = P(^ξ1∈^{B P}1) (^ξ2 ∈^B2) (6) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu holda, _R² dagi taqsimot
P dx dx_ξ( ₁^, ₂) = P_{ξ1 2}ξ (dx dx1^, ₂) = P(^ξ1∈dx1 2,ξ ∈dx2)
R dagi
P_ξ1(dx1) = P(^ξ1∈dx1), P_ξ2 (dx2 ) = P(^ξ2 ∈dx2 )
taqsimotlarni to‘g‘ri ko‘paytmasi deb ataladi. Biz bilamizki, (6) formula (_R²,_B²) (_B²-ikki o‘lchovli Borel to‘plamlari σ−algebrasi) fazodagi ξ=(ξξ_{1 2}, ) tasodifiy vektorning taqsimotini ξ₁ va ξ₂ tasodifiy miqdorlarning (R,B) dagi taqsimotlari orqali bir qiymatli aniqlaydi.
Aytilganlardan P_{ξ1 2}ξ taqsimot bo‘yicha integral
∫ g x x( _{1 2}, )P_{ξξ1 2} (dx dx1^, ₂) (7)
2
R
P_ξ1 va P_ξ2 taqsimotlar bo‘yicha olingan integrallar orqali ifoda etilishi mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, quyidagi Fubini teoremasi o‘rinli.