Shartli matematik kutilma va uning xossalari

Shartli matematik kutilma va uning xossalari.
(Ω, ,F P) ehtimollik fazosi, B hodisa uchun (B ∈F) uning ehtimolligi P B( )> 0 bo‘lsin. Bu ehtimollik fazosidan yangi (Ω, ,F PB )ehtimollik fazosiga o‘tamiz va undan har qanday A ∈F hodisa uchun uning ehtimolligini
P B ( )A = P A B( / )= P ABP B(( ))
tenglik bilan aniqlaymiz. Oson ko‘rinadiki, P_B ehtimollik P P P1, 2, 3 aksiomalarni qanoatlantiradi. (Ω, ,F ^P) fazoda aniqlangan tasodifiy miqdor ξ (Ω, ,F P_B ) da ham tasodifiy miqdor bo‘ladi.
Ta’rif 1. Tasodifiy miqdor ξ ning (Ω, ,F PB ) dagi matematik kutilmasi uning B hodisaga nisbatan shartli matematik kutilmasi deb atalib, E(ξ/B) ko‘rinishda belgilanadi.
Demak,
E /B .
va P_B ehtimollik ta’rifiga ko‘ra,
E
Ω ΩB ΩB
Oxirgi integralni Eξ dan farqi shundaki, unda integrallash faqat B ⊂Ω to‘plam bo‘yicha bo‘ladi, xolos va uni

5. 
   (ξ;B)= ∫ ξ ω( )P d( ω). B
   

deb belgilasak,
E (ξ;B)
E (ξ /B)= _{P B( )}
tenglikni olamiz.
Oson ko‘rish mumkinki, funksiya

5. 
   x B( / )= P_B (ξ< = <x) P(ξ x B/ )
   

ξ tasodifiy miqdorning (Ω, ,F P_B ) fazodagi taqsimot funksiyasi bo‘ladi. Ta’rif 2. F x B( / ) funksiyasi ξ tasodifiy miqdorning B hodisaga nisbatan shartli taqsimot funksiyasi deyiladi.
Ixtiyoriy qism σ−algebra F F₁ ( 1 ⊂F) _B hodisadan bog‘liqsiz deyiladi, agar har qanday hodisa A1 ∈F₁ uchun
P AB( 1 )= P A( )1 ⋅P B( )
tenglik bajarilsa. Xususan tasodifiy miqdor ξ yuzaga keltirgan σ-algebra σ ξ( ) hodisa B ga bog‘liq bo‘lmasa, uni B hodisadan bog‘liqsiz deyiladi.
Agar ξ tasodifiy miqdor B hodisaga bog‘liq bo‘lmasa,
P_B (A)= P A( )
tenglik har qanday A ∈ σ ξ( ) hodisa uchun bajariladi. Demak, bu holda
F x( /B)= F x( )= <P(ξ x), E (ξ /B)= Eξ,
E (ξ;B)= P B E( ) ξ
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Agar {B_n,n ≥1} ketma-ketlik hodisalarning to‘la guruhini tashkil qilsa,
Eξ =∫ΩξdP =^∑_{n B}^∫n ξdP =^∑_n E (ξ /B_n ) (P B_n )
tenglik o‘rinli bo‘ladi va uni matematik kutilmalar uchun to‘la ehtimollik formulasi deyiladi.
Misol. Faraz qilaylik, biror bir mexanizmning xizmat qilish muddati F x( ) taqsimot funksiyasiga ega bo‘lgan ξ tasodifiy miqdor bo‘lsin. Mexanizmning a vaqt davomida ishlab turgani ma’lum bo‘lsa, uning yana qolgan vaqt davomida xizmat qilish ehtimolligi taqsimoti topilsin. Bu taqsimotning matematik kutilmasi nimaga teng?
O‘z o‘zidan ma’lumki qo‘yilgan masalaning yechimi
P (ξ −a ≥ x /ξ ≥a), E (ξ −a /ξ ≥a)
ifodalarni topishdan iborat bo‘ladi va bunda
P a( )=P(ξ/a)>0
deb hisoblanadi.
Yuqorida keltirilgan formulalarga asosan,
P a x / ,
E a
Quyidagi holatni qayd qilib o‘tish qiziqarli. Ko‘p tatbiqiy masalalarda, ayniqsa bir nechta ishonchli detallardan tashkil topgan murakkab mexanizmlarning ishida ξ tasodifiy miqdorning taqsimoti
P x( )=1−F x( )=P(ξ≥x)=e^−2µx, µ>0
ko‘rsatkichli taqsimot deb hisoblash mumkin bo‘ladi (Bunday mexanizmlar uchun elektron hisoblash qurilmalari misol bo‘la oladi). Lekin, ko‘rsatkichli taqsimot uchun mexanizmning qolgan vaqt davomida ham xizmat qilish ehtimolligi
( x a+ )
P a x µa =
= e^−µx = P( )x (1)
yangi (ishlamagan) mexanizmning xizmat qilish muddati taqsimoti bilan bir xil bo‘ladi. Ko‘rsatkichli taqsimotning oxirgi jumlasida keltirilgan xossasi xizmat muddati mexanizmning kelgusidagi ishiga ta’sir etmasligini bildiradi va uni
P x( + =a) P x( )⋅P a( ) (2)
funksional tenglama ko‘rinishida ifoda etish mumkin. O‘z navbatida, (2) funksional munosabat faqat va faqat (1) ko‘rsatkichli taqsimot uchun bajariladi, xolos.

Biror ehtimollik fazosi (Ω,_F ,_P) da aniqlangan tasodifiy miqdor ξ ning taqsimot funksiyasi F(x), g x( ) esa, R da aniqlangan Borel funksiyasi (ya’ni har qanday Borel to‘plami uchun g⁻¹(B) ={x g x: ( )∈B} yana borel to‘plami) bo‘lsa, g(ξ) tasodifiy miqdor bo‘ladi. Quyidagi mulohazalardan matematik kutilma Eg(ξ) ni hisoblash uchun, g(ξ) ni taqsimot funksiyasini topish shart bo‘lmasdan, uni bevosita g(⋅) funksiya va F(x) orqali ifoda etish mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, Stiltes integrali va matematik kutilmaning ta’riflaridan va ularning xossalaridan foydalanib, quyidagi teoremaning o‘rinli bo‘lishiga ishonch hosil qilish mumkin.