Shartli matematik kutilma va uning xossalari

Teorema 1. Tasodifiy miqdor ξ ning taqsimot funksiyasi F(x g x), ( ) esa, uzluksiz yoki chekli sondagi birinchi turdagi uzilish nuqtalarga ega bo‘lgan funksiya bo‘lsin.
Agar
∞
∫  g x dF x( ) ( ) < ∞
−∞ bo‘lsa,
∞
Eg( )ξ = ∫ g x dF( ) ( )x . (1)
−∞
Formula (1) ni quyidagi xususiy hollarda ko‘ramiz. 1) Agar tasodifiy miqdor ξ diskret bo‘lib, uning taqsimoti
P(ξ= a_k ) = p_k , k =1,2,..., ∑ p_k =1,
k
bo‘lsa,
Eg( )ξ = ∑g a( _k )p_k (2)
k
agar
∑ g a( _k) p_k < ^∞
k
(2) formulaning o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ξ diskret bo‘lgan holda, g(ξ) ham diskret tasodifiy miqdor bo‘lishiga e’tibor berish yetarli bo‘ladi.
2) Agar tasodifiy miqdor ξ ning taqsimotini zichlik funksiyasi p(x) va Borel funksiyasi g(⋅) uchun
∞
∫  g x p x dx( ) ( ) < ∞
−∞ bo‘lsa,
Eg( ) g x p x dx . (3)
Keltirilgan (2), (3) formulalarga oid misollarni ko‘ramiz.
Misol 1. Agar ξ tasodifiy miqdor Puasson taqsimotiga ega bo‘lsa, E hisoblansin.
Yechish. Formula (2) dan foydalansak, ^⎛_⎜⎝g x( ) = _{1 +}¹ _x ^⎞_⎟⎠.
1 ∞ 1 _λk ^−λ _e−^λ ∞ ^λk+1
E  = ∑ e = ∑ =
1+ξ _k=01+ k k! λ _k=0(k +1)!
λ −λ e
 
λ _r=1 r! λ λ
Misol 2. Tasodifiy miqdor ξ [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bo‘lsa, (3) formula bo‘yicha
E xdx x
Bu holda, g x( )= sin²πx.
Misol 3. Tasodifiy miqdor ξ Koshi taqsimotiga ega bo‘lsin. Bu holda, uning taqsimoti zichlik funksiyasi

E min(ξ,1) hisoblansin.
Yuqoridagi (3) formula bo‘yicha
1 ^∞ 1
Emin(ξ,1) =π ₋∫∞min( x ,1⁾ 2 dx =