Sharof rashidov nomidagi samarqand davlat universiteti matematika fakulteti nazariy va amaliy mexanika

Quyida chegaraviy shartlar bilan tanishamiz:

1. 
   Sterjenning bir uchi qistirib qo’yilgan bo’lsin (1-rasm). Sterjenning qistirilgan uchida har bir vaqt uchun bo’ladi. Shunga ko’ra: bo’lishi kerak.
   
2. 
   Sterjenning uchi erkin bo’lsin. U holda sterjenning erkin uchida bo’ylama kuch bo’lishi kerak. Guk qonuniga muvofiq
   

bundan

bo’ladi.

3. 
   Sterjen uchi elastik tirgovuchga tiralgan bo’lsin (2-rasm). Sterjen ga cho’zilganda elastik reaksiya hosil bo’ladi, bu reaksiya sterjen uchida hosil bo’ladigan bo’ylama kuch ga teng, demak, bu kesim uchun shart bajarilishi kerak.
   
4. 
   Serjen uchiga massasi ga teng yuk qo’yilgan bo’lsin (3-rasm). Bu massaning inersiya kuchi quyidagicha bo’ladi:
   

bo’lganidan, massaning inersiya kuchi ga teng. Bu kuch shu ichki kesimdagi bo’ylama kuch ga tengdir. Shuning uchun ularni solishtirib, quyidagi shartni olamiz:



Topshiriqni bajarish bo’yicha .
Ergashov Alijon
Demak,
Jurnal raqamim 3 , shuning uchun 3-variantn ishladim
Berilgan: Material alyuminiy , elastiklik modeli , sterjen uchiga dastlab tezlik berilgan, sterjen uzunligi , elastik aosning bikrlik koeffitsiyenti

Yechilishi: Masalani yechishda dastlab chizmaga koordinata o’qlarini va kuchlarni qo’yib chiqamiz. Shundan so’ng sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasini yechamiz. Dastlab sterjenga qo’yilgan boshlang’ich va chegaraviy shartlarni aniqlashtiramiz.
Boshlang’ich shartlar:

Chegaraviy shartlar:

Endi sterjen bo’ylama tebranish tenglamasini yechamiz. Yuqorida keltirib chiqardikki sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi quyidagicha:
Ushbu tenglamadagi funksiyani ikki funksiyaning ko’paytmasi tarzida ifodalaymiz:

Bu funksiyalarning har qaysisi bitta o’zgaruvchiga bog’liqdir. ning bu qiymatini yuqoridagi tenglamaga qo’yamiz

Ushbu muunosabatni quyidagicha yozamiz:

Munosabat va ning har bir qiymatida mavjud bo’lishi uchun, uning har qaysi qismi bitta o’zgarmas songa teng bo’lishi kerak.

Bulardan:


Bu tenglamalarning yechimi quyidagicha bo’ladi:

Chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishda edi:

bulardan quyidagilar kelib chiqadi:

Ushbu tenglamaning yechimini chegaraviy shartlarni
qanoatlantirishi uchun ko’rinishida izlaymiz:


bulardan foydalanib quyidagilarni yozamiz:

yoki bundan

Endi yoki tenglamani yechamiz.
Bu tenglamaning yechimi ko’rinishda ekanligi bizga nazariy mexanika kursidan ma ’lum.
Masalaning chiziqliligidan foydalanib biz quyidagilarni olamiz:

Masalaning boshlang’ich shartlaridan foydalanib va integrallash o’zgarmaslarini topamiz.


Yuqoridagi masala shartlaridan foydalanib aniq yechimni topamiz:
Buning uchun daslab ni hisoblaymiz:

da

Balkadan elementni ajratib, unga Dalamber prinsipini tadbiq qilamiz, ajratilgan elementga qo’yilgan yuklar bilan bir qatorda, unga inersiya kuchi ni ham qo’yamiz (9-rasm).

9-rasm
Ajratilgan elementga qo’yilgan kuchlarning vertikal o’qdagi proyeksiyalari yig’indisini nolga tenglashtirib, quyidagi tenglamani olamiz:

U kuchlarning momentlari yig’indisini nolga tenglashtirsak, quyidagi tenglama kelib chiqadi:

Bu tenlamaning ga nisbatan hosilasini olamiz va (a) ni ko’zda tutib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

Bunda balka ko’ndalang kesimining yuzasi, balka materialining zichligi.
Egilish nazariyasidan bizga ma’lum bo’lgan munosabatidan foydalanib, (1) dan egilishdagi erkin tebranma harakat differensial tenglamani chiqaramiz:

Ko’ndalang kesimi o’zgarmaydigan hol uchun bo’lib, yuqoridagi tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi:

Oldingidek bu tenglamaning integralini

ko’rinishida tanlaymiz. U holda (4) ni (3) ga qo’yib quyidagi munosabatni hosil qilamiz:

Bu munosabat, koordinata va vaqt ning har qanday qiymatida aynan bajarilishi uchun, uning har ikkala tomoni bitta o’zgarmas songa teng bo’lishi kerak, bu o’zgarmas sonni desak, yuqoridagi (5) munosabatdan ikkita tenglamani tuzamiz:


(6) tenglama harakat chastotasi bo’lgan tebranma xarakterligini ko’rsatadi. Uning integrali bizga ma’lumdir. (7) tenlama esa tebranma harakatning formasini aniqlaydi. Undagi o’zgarmas koeffitsiyentni

desak, tenglamaning integrali quyidagi ko’rinishda yoziladi:

Ammo (8) ko’rinishdagi tenglamaning integralini A.N.Krilov juda qulay va ixcham ko’rinishda bergan. Biz bu tenglamaning yechilishidan foydalanamiz:

integral o’zgarmovchilari, ularning chegara shartidan aniqladi. funksiyalarning kombinasiyasidan iboratdir:

Bu funksiyalarning ketma ket hosilalari quyidagi munosabatlardan aniqlanadi:




bo’lganda qolganlari nolga teng. funksiyalarning bu xususiyatlari tufayli, integral o’zgarmovchilari egilish funksiyasi ning boshlang’ich qiymatlari va ularning hosilalari orqali juda qulay ifodalanadi:

Balkaning uchi qanday tartibda biriktirilgan bo’lmasin, to’rtta o’zgarmovchidan ikkitasi, albatta, nolga teng bo’ladi. Masalan, balkaning uchi qistirib tiralgan bo’lsin, u holda bo’lib, bo’ladi. Balkaning uchi erkin tiralgan bo’lsa, egilish va eguvchi moment holga teng bo’ladi:

demak, .
Agar balkaning uchi tiralmagan, ya’ni erkin bo’lsa, eguvchi moment va kesib o’tuvchi kuch nolga teng bo’ladi, ya’ni

demak,
Shuning uchun: bo’ladi. Qolgan ikkita o’zgarmas sonlar balka ikkinchi uchining tiralish shartidan aniqlanadi.