Sharof rashidov nomidagi samarqand davlat universiteti matematika fakulteti nazariy va amaliy mexanika

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI

MATEMATIKA FAKULTETI

NAZARIY VA AMALIY MEXANIKA
kafedrasi
Elastik tebranishlar nazariyasi fanidan
MUSTAQIL ISH
Mavzu: To’g’ri chiziqli sterjenning bo’ylama tebranishi va egilishi
Bajardi:____-guruh talabasi _________________
_____________________

Qabul qildi: _______________________
Mustaqil ish topshirilgan vaqt _________
Mustaqil ish qabul qilingan vaqt_________

Samarqand 2022
To’g’ri chiziqli sterjenning bo’ylama tebranishi
To’g’ri chiziqli sterjenning bo’ylama tebranish harakatini tekshirganimizda, tekis kesim gipotezasidan foydalanib sterjen kesimidagi zarralarning ko’ndalang yuza bo’yicha bajaradigan harakatini hisobga olmay, faqat sterjen o’qi bo’yicha bajariladigan harakatnigina ko’zda tutamiz. Sterjendan uning ikkita ko’ndalang kesimi vositasi bilan bir element ajratamiz (1-rasm), bu ajratilgan elementga Dalamber prinsipini tatbiq qilib, quyidagi differensial tenglamani olamiz:


yoki

bu yerda sterjen materiali zichligi,
sterjen ko’ndalang kesim yuzasi,
kesimdagi bo’ylama kuch,
tekshirilayotgan kesimning o’qi bo’yicha ko’chishi.

Ajratilgan elementning chap kesimi o’qi bo’yicha ga ko’chsa, o’ng kesimi esa ga ko’chadi. Elementning asolyut cho’zilishi , nisbiy cho’zilishi esa bo’ladi. Kesimdagi bo’ylama kuch Guk qonuniga muvofiq quyidagicha bo’ladi:

ning qiymatini (1) ga qoysak:

yoki

kelib chiqadi. Bunda:

bo’ladi. Bu yerda bo’ylama to’lqinning tarqalish tezligi. Sterjenning ko’ndalang kesim yuzi o’zgarmasa tenglama yana ham osonlashadi:

Bo’ylama tebranma harakatni ifodalovchi funksiya kesimning holatini aniqlovchi va ga bog’liqdir. Shuning uchun bu funksiyani ikki funksiyaning ko’paytmasi tarzida ifodalaymiz:

Bu funksiyalarning har qaysisi bitta o’zgaruvchiga bog’liqdir. ning bu qiymatini (4) ga qo’yib, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:

Shtrix bilan ga nisbatan, nuqta bilan ga nisbatan hosila olingan. Chiqqan munosabatni quyidagicha yozamiz:

Bu munosabatning chap tomoni faqat ning, o’ng tomoni esa faqat ning funksiyasidir. Munosabat va ning har bir qiymatida mavjud bo’lishi uchun, uning har qaysi qismi bitta o’zgarmas songa teng bo’lishi kerak. Biz bu o’zgarmas sonni orqali belgilaymiz, u holda yuqoridagi munosabatdan ikkita, bir-biridan mustasno, differensial tenglamalarni olamiz:

bulardan:

kelib chiqadi. Bu tenglamalarning har ikkalasining ham integrali bizga ma’lum ular quyidagicha bo’ladi:

yoki


(6) tenglama harakatning tebranma xarakterligini ko’rsatadi; esa bu tebranma harakatning takrorligidir. Tebranma harakat jarayonida vaqtga qandaydir bir muayyan qiymat berilsa, masalan, bo’lsa u holda o’zgarmas songa aylanadi. Bu vaqtda bo’ladi, ya’ni faqat ning funksiyasiga aylanadi. Bundan ko’ramizki, funksiya kesimlarning ko’chish formulasini aniqlar ekan. Biror kesimning holati oldindan belgilab qo’yilsa, masalan bo’lsa, har bir onda kesimning formasi o’zgarmay, mazkur kesim boshqa kesimlar kabi (6) ga muvoviq tebranma harakatni bajaradi. Tebranma harakatning takrorligi ni aniqlashdan oldin, uning soni cheksizligini ta’kidlab o’tamiz. ning har bir qiymatiga muvofiq funksiya va tebranish formasi maxsus forma ga mos keladi. Shuning uchun (5) ko’rinishda olingan yechilish tenglamaning xususiy integralidir. Harakat tenglama (4) ning to’la integrali barcha xususiy integrallarning yig’indisidan iborat bo’ladi:

Bunda tebranishning xususiy funksiyasi yoki fundamental funksiya deb ataladi. Ko’pincha bu funksiya faqat tebranishning normal formasi deb ham yuritiladi.
Endi takrorlik (chastota) ni aniqlash tenglamasini tuzishga o’tamiz. Buning uchun masalaning chagaraviy shartlaridan foydalanamiz.