4-misol.
Parametrik tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping
Yechim. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari avval kanonikga, so'ngra umumiyga
va nihoyat, qiyalik bilan tenglamaga aylantirilishi kerak.
Shunday qilib, berilgan chiziqning qiyaligi:
5-misol.
Nuqtadan o`tuvchi va to`g`ri chiziqqa perpendikulyar to`g`ri chiziqning
parametrik tenglamalarini yozing
To'g'ri chiziq nuqta bilan birgalikda geometriyaning muhim elementlari bo'lib, ular
yordamida fazoda va tekislikda ko'plab figuralar quriladi. Ushbu maqolada parametrik va
uning ushbu geometrik element uchun boshqa turdagi tenglamalar bilan aloqasi batafsil
ko'rib chiqiladi.
Uni tavsiflash uchun chiziq va tenglamalar
Geometriyada toʻgʻri chiziq fazodagi ixtiyoriy ikkita nuqtani eng kichik uzunlikdagi
segment bilan bogʻlaydigan nuqtalar yigʻindisidir. Ushbu segment to'g'ri chiziqning bir
qismidir. Kosmosdagi ikkita sobit nuqtani bog'laydigan har qanday boshqa egri chiziqlar
uzun bo'ladi, shuning uchun ular tekis emas.
Yuqoridagi rasmda ikkita qora nuqta ko'rsatilgan. Ularni bog'laydigan ko'k chiziq to'g'ri,
qizil chiziq esa kavisli. Shubhasiz, qora nuqta orasidagi qizil chiziq uzunligi ko'kdan
uzunroqdir.
To'g'ri chiziq tenglamalarining bir nechta turlari mavjud, ular yordamida siz to'g'ri chiziqni
tasvirlashingiz mumkin
uch o'lchovli fazo
yoki ikki o'lchovli. Quyida ushbu
tenglamalarning nomlari keltirilgan:
vektor;
parametrik;
segmentlarda;
nosimmetrik yoki kanonik;
umumiy turi.
Ushbu maqolada biz to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini ko'rib chiqamiz, lekin biz
uni vektor tenglamasidan olamiz. Parametrik va simmetrik yoki kanonik tenglamalar
orasidagi bog'lanishni ham ko'rsatamiz.
Vektor tenglamasi
Ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan geometrik element uchun berilgan tenglamalarning
barcha turlari bir-biriga bog'liq. Shunga qaramasdan
vektor tenglamasi
ularning
barchasi uchun asosiy hisoblanadi, chunki u to'g'ridan-to'g'ri chiziq ta'rifidan kelib
chiqadi. Keling, geometriyaga qanday kiritilganligini ko'rib chiqaylik.
P (x 0; y 0; z 0) fazoda nuqta berilgan deylik. Ma'lumki, bu nuqta to'g'ri chiziqqa tegishli.
U orqali nechta qatorni o'tkazishingiz mumkin? Cheksiz son. Shuning uchun bitta to'g'ri
chiziq chizish imkoniyatiga ega bo'lish uchun ikkinchisining yo'nalishini belgilash kerak.
Ma'lumki, yo'nalish vektor tomonidan aniqlanadi. Biz uni v¯ (a; b; c) bilan belgilaymiz, bu
erda qavs ichidagi belgilar uning koordinatalari. Ko'rib chiqilayotgan chiziqda joylashgan
har bir Q (x; y; z) nuqta uchun tenglikni yozishimiz mumkin:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + a × (a; b; c)
Bu erda a belgisi mutlaqo har qanday haqiqiy qiymatni qabul qiluvchi parametrdir
(vektorni raqamga ko'paytirish uning modulini yoki yo'nalishini faqat teskari tomonga
o'zgartirishi mumkin). Bu tenglik uch o‘lchamli fazodagi to‘g‘ri chiziq uchun vektor
tenglamasi deyiladi. a parametrini o'zgartirib, biz ushbu chiziqni tashkil etuvchi barcha
nuqtalarni (x; y; z) olamiz.
Tenglamadagi v¯ (a; b; c) vektor yo'naltiruvchi vektor deyiladi. To'g'ri chiziqning aniq
yo'nalishi yo'q va uning uzunligi cheksizdir. Bu faktlar shuni anglatadiki, v¯ dan
ko'paytirish yo'li bilan olingan har qanday vektor
haqiqiy raqam
, shuningdek, to'g'ri
chiziq uchun qo'llanma bo'ladi.
P nuqtaga kelsak (x 0; y 0; z 0), u holda uning o'rniga to'g'ri chiziqda yotadigan
tenglamaga ixtiyoriy nuqta qo'yilishi mumkin va ikkinchisi o'zgarmaydi.
Yuqoridagi rasmda kosmosda yo'nalish vektori (qizil yo'nalish chizig'i) orqali aniqlangan
to'g'ri chiziq (ko'k chiziq) ko'rsatilgan.
Ikki o'lchovli holat uchun bunday tenglikni olish qiyin emas. Shunga o'xshash fikrlashdan
foydalanib, biz quyidagi iboraga erishamiz:
(x; y) = (x 0; y 0) + a × (a; b)
Ko'ramizki, u avvalgisi bilan mutlaqo bir xil, nuqta va vektorlarni ko'rsatish uchun uchta
o'rniga faqat ikkita koordinata ishlatiladi.
Parametrik tenglama
Birinchidan, fazodagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini olamiz. Yuqorida, vektor
tengligi yozilganda, unda mavjud bo'lgan parametr haqida allaqachon aytib o'tilgan.
Parametrik tenglamani olish uchun vektorni kengaytirish kifoya. Biz olamiz:
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Har birida bitta oʻzgaruvchan koordinata va a parametrga ega boʻlgan ushbu uchta chiziqli
tenglik toʻplami odatda fazodagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamasi deb ataladi.
Asosan, biz hech qanday yangi ish qilmadik, shunchaki mos keladigan vektor ifodasining
ma'nosini aniq yozdik. Biz faqat bir nuqtaga e'tibor qaratamiz: a soni, garchi u ixtiyoriy bo'lsa
ham, barcha uchta tenglik uchun bir xil. Misol uchun, agar 1-tenglik uchun a = -1,5 bo'lsa,
nuqta koordinatalarini aniqlashda uning bir xil qiymati ikkinchi va uchinchi tengliklarga
almashtirilishi kerak.
Parametrik tenglama
tekislikdagi to'g'ri chiziq fazoviy holatga o'xshaydi. U quyidagicha
yoziladi:
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzish uchun uning vektor
tenglamasi aniq yozilishi kerak.
Kanonik tenglamani olish
Yuqorida ta'kidlanganidek, fazoda va tekislikda to'g'ri chiziqni belgilovchi barcha
tenglamalar bir-biridan olingan. Keling, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasidan
kanonikni qanday olishni ko'rsatamiz. Fazoviy holat uchun bizda:
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Har bir tenglikdagi parametrni ifodalaylik:
a = (x - x 0) / a;
a = (y - y 0) / b;
a = (z - z 0) / c
Chap tomonlari bir xil bo'lganligi sababli, tengliklarning o'ng tomonlari ham bir-biriga teng:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c
Bu shunday
kanonik tenglama
kosmosdagi to'g'ri chiziq uchun. Har bir ifodadagi maxraj
qiymati mos keladigan koordinatadir.Har bir oʻzgaruvchidan ayiriladigan paydagi qiymatlar
shu chiziqdagi nuqtaning koordinatalaridir.
Samolyotdagi holat uchun mos keladigan tenglama quyidagi shaklni oladi:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b
2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi
Ma'lumki, tekislikda ham, fazoda ham ikkita qo'zg'almas nuqta to'g'ri chiziqni o'ziga xos
tarzda belgilaydi. Aytaylik, sizga samolyotda quyidagi ikkita nuqta berilgan:
Ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi? Birinchidan, siz yo'nalish
vektorini aniqlashingiz kerak. Uning koordinatalari quyidagi ma'nolarga ega:
PQ¯ (x 2 - x 1; y 2 - y 1)
Endi siz tenglamani yuqoridagi paragraflarda muhokama qilingan uchta shakldan birida
yozishingiz mumkin. Masalan, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi quyidagi shaklni
oladi:
x = x 1 + a × (x 2 - x 1);
y = y 1 + a × (y 2 - y 1)
Kanonik shaklda siz uni quyidagicha qayta yozishingiz mumkin:
(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)
Ko'rinib turibdiki, kanonik tenglama ikkala nuqtaning koordinatalarini o'z ichiga oladi va
hisoblagichda siz ushbu nuqtalarni o'zgartirishingiz mumkin. Shunday qilib, oxirgi
tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)
Barcha yozma ifodalar 2 nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamalari deyiladi.
Uch nuqtali muammo
Quyidagi uchta nuqtaning koordinatalari berilgan:
Bu nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda joylashgan yoki yo'qligini aniqlash kerak.
Bu masalani quyidagicha yechish kerak: avval istalgan ikkita nuqta uchun to‘g‘ri chiziq
tenglamasini tuzing, so‘ngra uchinchisining koordinatalarini unga almashtiring va ular
olingan tenglikni qanoatlantirayotganligini tekshiring.
Parametrik shaklda M va N ko'rinishida tenglama tuzamiz. Buning uchun biz yuqoridagi
paragrafda olingan formulani qo'llaymiz, biz uni uch o'lchovli holatga umumlashtiramiz.
Bizda ... bor:
x = 5 + a × (-3);
y = 3 + a × (-1);
z = -1 + a × 1
Endi bu ifodalarga K nuqtaning koordinatalarini qo‘yib, ularga mos keluvchi alfa parametr
qiymatini topamiz. Biz olamiz:
1 = 5 + a × (-3) => a = 4/3;
1 = 3 + a × (-1) => a = 4;
5 = -1 + a × 1 => a = -4
Biz shuni aniqladikki, agar ularning har biri a parametrining har xil qiymatini oladigan bo'lsa,
uchta tenglik ham haqiqiy bo'ladi. Oxirgi fakt to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasining
shartiga zid keladi, bunda a barcha tenglamalar uchun teng bo'lishi kerak. Demak, K nuqta
MN to‘g‘ri chiziqqa tegishli emas, ya’ni uchala nuqta ham bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydi.
To'g'ri chiziqlar parallelligi muammosi
To'g'ri chiziqlarning ikkita tenglamasi parametrik shaklda berilgan. Ular quyida keltirilgan:
x = -1 + 5 × a;
x = 2 - 6 × l;
y = 4 - 3,6 × l
Chiziqlar parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak. Ikki chiziqning parallelligini aniqlashning eng
oson usuli bu yo'nalish vektorlarining koordinatalaridan foydalanishdir. Ikki o'lchovli fazodagi
parametrik tenglamaning umumiy formulasiga murojaat qilsak, har bir to'g'ri chiziqning
yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega bo'lishini aniqlaymiz:
Ikki vektor parallel bo'ladi, agar ulardan birini ikkinchisini qandaydir songa ko'paytirish orqali
olish mumkin bo'lsa. Biz vektorlarning koordinatalarini juftlarga ajratamiz, biz quyidagilarni
olamiz:
Bu shuni anglatadiki:
v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯
Yo‘nalish vektorlari v 2 ¯ va v 1 ¯ parallel, ya’ni masala bayonidagi chiziqlar ham parallel.
Keling, ular bir xil to'g'ri chiziq emasligini tekshiramiz. Buning uchun tenglamadagi istalgan
nuqtaning koordinatalarini boshqasiga almashtirish kerak. (-1; 3) nuqtani oling, uni ikkinchi
qator uchun tenglamaga almashtiring:
1 = 2 - 6 × l => l = 1/2;
3 = 4 -
3,6 × l => l ≈ 0,28
Ya'ni, to'g'ri chiziqlar boshqacha.
Chiziqlarning perpendikulyarligi muammosi
Ikki to'g'ri chiziq tenglamalari berilgan:
x = 2 + 6 × l;
y = -2 - 4 × l
Bu chiziqlar perpendikulyarmi?
Ikki to'g'ri chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar
skalyar mahsulot
ularning yo'nalish vektorlari
nolga teng. Keling, ushbu vektorlarni yozamiz:
Keling, ularning nuqta mahsulotini topamiz:
(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0
Shunday qilib, biz ko'rib chiqilgan to'g'ri chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqladik. Ular
yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan.
“Teklikdagi toʻgʻri chiziq tenglamasi” mavzusining kichik bandlaridan biri toʻgʻri burchakli
koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalarini
tuzish masalasidir. Quyidagi maqolada ma'lum ma'lum ma'lumotlar bilan bunday
tenglamalarni tuzish printsipi muhokama qilinadi. Parametrik tenglamalardan boshqa
turdagi tenglamalarga qanday o'tishni ko'rsatamiz; Keling, tipik vazifalarni hal qilishni
tahlil qilaylik.
Ushbu chiziqqa tegishli nuqtani va chiziqning yo'nalishi vektorini ko'rsatish orqali ma'lum
bir chiziq aniqlanishi mumkin.
Aytaylik, bizga O x y to‘rtburchak koordinatalar sistemasi berilgan. Shuningdek, uning
ustida yotgan M 1 (x 1, y 1) nuqta va berilgan to‘g‘ri chiziqning yo‘nalish vektori
ko‘rsatilgan a to‘g‘ri chiziq. a → = (a x, a y)
.
Keling, tenglamalar yordamida berilgan a
chiziqqa tavsif beraylik.
Biz ixtiyoriy M (x, y) nuqtadan foydalanamiz va vektorni olamiz
M 1 M →; uning
koordinatalarini boshlang'ich va oxirgi nuqtalarning koordinatalari bo'yicha hisoblang: M
1 M → = (x - x 1, y - y 1). Natijani tavsiflaymiz: to'g'ri chiziq M (x, y) nuqtalar to'plami
bilan berilgan, M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tadi va yo'nalish vektoriga ega.
a → = (a x, a
y)
.
Belgilangan to‘plam to‘g‘ri chiziqni faqat M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) va a → = (a x, a
y) vektorlari kollinear bo‘lsagina belgilaydi.
zarur va bor
etarli holat
vektorlarning kollinearligi, bu holda M 1 M → = (x - x 1, y - y 1)
va a → = (a x, a y) vektorlari uchun tenglama ko'rinishida yozilishi mumkin:
M 1 M → = l · a →, bu erda l - qandaydir haqiqiy son.
Ta'rif 1
M 1 M → = l · a → tenglama chiziqning vektor-parametrik tenglamasi deyiladi.
Koordinata shaklida u quyidagi shaklga ega:
M 1 M → = l a →
⇔
x - x 1 = l a x y - y 1 = l a y
⇔
x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l
Hosil boʻlgan x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l sistemaning tenglamalari toʻgʻri burchakli
koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalari
deyiladi. Nomning mohiyati quyidagicha: to'g'ri chiziqning barcha nuqtalarining
koordinatalarini barcha haqiqiy qiymatlar ustida takrorlanganda x = x 1 + ax l y = y 1 +
ay l ko'rinishdagi tekislikdagi parametrik tenglamalar bilan aniqlash mumkin. l
parametrining
Yuqoridagilarga ko'ra, tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari x = x 1 + ax
vektor
a → = (a x, a y)
.
Demak, to’g’ri chiziqning qaysidir nuqtasining koordinatalari va
uning yo’nalishi vektorining koordinatalari berilgan bo’lsa, u holda berilgan to’g’ri
chiziqning parametrik tenglamalarini darhol yozish mumkin bo’ladi.
1-misol
To'g'ri to'g'ri chiziqning to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikda unga
tegishli M 1 (2, 3) nuqtasi va uning yo'nalishi vektori berilgan bo'lsa, uning parametrik
tenglamalarini tuzish kerak.
a → = (3, 1).
Yechim
Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y
= 1. Parametrik tenglamalar quyidagicha bo'ladi:
x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l
⇔
x = 2 + 3 l y = 3 + 1 l
⇔
x = 2 + 3 l y = 3 + l
Keling, aniq tasvirlab beraylik:
Do'stlaringiz bilan baham: |