Сборник задач с решениями по математике для слушателей зфтш «Перспектива» ишкольников 10-11 классов

Пример 75. При каком значении «а» функция возрастает на интервале (0;)? Указать наименьшее целое.
а) Тема задачи: исследование функции с помощью ее
производной. Возрастание функции определяется условием
.
б) . Необходимо решить неравенство ,
при условии Квадратное неравенство будет
выполняться, если при условии больший корень
уравнения равен нулю, то есть:

Рекомендации к выполнению задач:
Пример 76. При каком значении «а» функция расположена не ниже оси ОХ. Указать наименьшее целое.
Ответ: 5.
Функция графически представлена параболой, ветви которой направлены вверх, и, согласно условия задачи, ее вершина должна быть расположена в точке с координатами ( ), причем . Находим . Решаем простейшее неравенство, и, при получении ответа, учитываем условие задачи (указать наименьшее целое).
Пример 77. Найти все значения «р», при которых уравнение имеет одно решение.
Ответ: 1е.
Функция >0 при любых значениях и имеет наименьшее значение при условии . Найдем решение данного уравнения (для проверки: =1);
Пример 78. Найти все значения «р», при которых уравнение
имеет одно решение. Ответ: 14.
В уравнении необходимо убрать знак модуля при условии: и решать уравнения
Если уравнение записать в виде то единственное решение проще найти графически, заменяя и получая уравнение . Необходимо из двух уравнений выбрать одно. Левая часть уравнения представляет собой параболу с вершиной Условие определяет значение параметра: .
Пример 79. Найти все значения «а», при которых наименьшее
решение неравенства равно –1.
Ответ: 12.


Преобразуем неравенство к виду ,
и будем его решать методом интервалов с нулевыми точками
. Значение может быть как больше нуля, так и меньше. Необходимо рассмотреть оба варианта и получить решение неравенства. По условию задачи, наименьшее решение должно быть равно (-1). В одном из вариантов (8- ) такого решения быть не может.