Сборник задач с решениями по математике для слушателей зфтш «Перспектива» ишкольников 10-11 классов

Пример 54.
Преобразуем левую часть уравнения, используя равенства
. Уравнение принимает вид:
2) , то есть неизвестная величина в уравнении
представлена показательной функцией . Введем новую
переменную (заметим, что 0, так как 0 при
любых значениях ). Далее, будем решать алгебраическое
уравнение и находить значения (одно или более,
зависит от вида уравнения). Затем,
.
Пример 55.
Заменим: , учтем, что . Уравнение будет иметь

3) Наиболее сложными являются показательные уравнения, содержащие две показательные функции с разными основаниями. Для их решения необходимо правильно выбрать алгебраические преобразования, которые приводят уравнение к виду с одной показательной функцией.
Рассмотрим решение уравнения такого типа.
Пример 56.
Преобразуем , , , . Уравнение содержит показательные функции: 1) с основанием 2, степени которых и ; 2) с основанием 5, степени которых и . Выберем показательные выражения с меньшими степенями, то есть и ; разделим левую и правую части уравнения почленно на произведение . Получим . Преобразуем и получим результат: , где ; . Заменим и запишем алгебраическое уравнение или . Кубическое уравнение решается подбором корня . Остаток от деления многочленов и равен . Уравнение не имеет решения в области вещественных чисел. Поэтому единственный корень определяет или ; .

§18. Решение системы показательных уравнений

Пример 57.
Заменим: . Тогда система будет иметь вид:
Алгебраическую систему уравнений решаем методом подстановки
. Первое уравнение системы представим в виде:

Тогда . Окончательно,