Samarqand davlat universiteti matematika fakulteti nazariy mexanika kafedrasi

2. Nuqtaning harakat tezligi va tezlanishi. 
Nuqta trayektoriyasining egrilik radiusi 
Harakatdagi nuqtaning tezligi – uning fazodagi yoki tekislikdagi vaziyatini 
aniqlovchi radius–vektor 
𝒓̅
 dan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli 
hosiladir.
Tezlik nuqta vaziyatining vaqt birligi ichida o’zgarishini xarakterlaydi
𝑣̅ =
𝑑 𝑟̅
𝑑𝑡
= 𝑣
𝑥
∙ 𝑖̅ + 𝑣
𝑦
∙ 𝑗̅ + 𝑣
𝑧
∙ 𝑘̅
, 

---

bunda tezlik vektorining qo’zg’almas dekart koordinatalar sistemasi
o’qlaridagi proyeksiyalari: 
𝑣
𝑥
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥̇
𝑣
𝑦
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦̇
𝑣
𝑧
=
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑧̇
(5) 
formulalardan aniqlanadi. 
Tezlik vektorining moduli va yo’nalishi quyidagicha topiladi:
𝑣 = √𝑣
𝑥
2
+ 𝑣
𝑦
2
+ 𝑣
𝑧
2
cos 𝛼 =
𝑣
𝑥
|𝑣̅|
; 
cos 𝛽 =
𝑣
𝑦
|𝑣̅|
; 
cos 𝛾 =
𝑣
𝑧
|𝑣̅|
(6) 
bu yerda 
𝛼, 𝛽, 𝛾
– tezlik vektori 
𝑣̅
ning x, y, z koordinata o’qlari musbat yo’nalishi 
bilan hosil qilgan burchaklaridir.
Tezlik vektori doimo traektoriyaga urinma bo’ylab yo’naladi.
Moddiy nuqta harakati tabiy usulda berilganda uning tezligi 
𝑣̅ =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝜏̇ = 𝑣
𝜏
∙ 𝜏̅
ga teng. Bu yerda 
𝜏̅
– yoy koordinatasi
𝑠
ning o’sish tomoniga yo’nalgan birlik 
vektori (2-rasm), 
𝑣
𝜏
─ tezlik vektorining urinma proyeksiyasi bo’lib 
𝑣
𝜏
=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑠̇
formula bilan aniqlanadi. Agar 
𝑣
𝜏
> 0
bo’lsa, moddiy nuqta 
𝑠
koordinatasining
qiymatlari o’sish tomoniga qarab harakatlanadi. Agar
𝑣
𝜏
< 0
bo’lsa, nuqta
𝑠 
yoy koordinatasining qiymatlari kamayadigan tomonga qarab harakatlanadi.
Harakatdagi moddiy nuqtaning tezlanishi 
𝑣̅
tezlik vektoridan vaqt bo’yicha
olingan birinchi hosilasiga yoki 
𝑟̅
radius-vektordan vaqt bo’yicha ikkinchi tartibli
hosilasiga teng.
Tezlanish tezlikning vaqt birligi ichidagi o’zgarishini xarakterlaydi va
𝑤
̅ =
𝑑𝑣̅
𝑑𝑡
=
𝑑
2
𝑟̅
𝑑𝑡
2
= 𝑤
𝑥
𝑖̅ + 𝑤
𝑦
∙ 𝑗̅ + 𝑤
𝑧
∙ 𝑘̅
, 
formula bilan hisoblanadi. Tezlanish vektorining qo’zg’almas Dekart 
koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari
𝑤
𝑥
=
𝑑𝑣
𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
2
𝑥
𝑑𝑡
2
= 𝑥̈
𝑤
𝑦
=
𝑑𝑣
𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑
2
𝑦
𝑑𝑡
2
= 𝑦̈
𝑤
𝑧
=
𝑑𝑣
𝑧
𝑑𝑡
=
𝑑
2
𝑧
𝑑𝑡
2
= 𝑧̈
kabi topiladi, ya’ni nuqta tezlanishining koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari 
tezlik vektori proyeksiyalarining vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli 
hosilalariga, yoki nuqtaning mos koordinatalaridan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi 
tartibli hosilalariga teng.
Tezlanishning moduli va yo’nalishi

---

𝑤 = √𝑤
𝑥
2
+ 𝑤
𝑦
2
+ 𝑤
𝑧
2
, 
cos 𝛼
1
=
𝑤
𝑥
|𝑤
̅ |
; 
cos 𝛽
1
=
𝑤
𝑦
|𝑤
̅ |
; 
cos 𝛾
1
=
𝑤
𝑧
|𝑤
̅ |
(8) 
formulalar yordamida aniqlanadi. Bu yerda 
𝛼
1
, 𝛽, 𝛾
1
- tezlanish vektorining
𝑥, 𝑦, 𝑧
koordinata
o’qlari bilan hosil qilgan burchaklaridir.
Tezlanish vektori hamma vaqt
trayektoriyaning botiqlik tomoniga qarab 
yo’nalgan.
Nuqta harakati tabiiy usulda berilganda tezlanish 
vektori urinma va narmal tezlanishlarning
vektorli yig’indisiga teng (3-rasm), ya’ni
𝑤
̅ = 𝑤
̅
𝜏
+ 𝑤
̅
𝑛
Tezlanishning urinma yo’nalishiga proyeksiyasi 
𝑤
̅
𝜏
=
𝑑𝑣
𝜏
𝑑𝑡
ga teng va uning 
qiymati 
𝑤
𝜏
= |
𝑑𝑣
𝑑𝑡
| =
𝑑
𝑑𝑡
(√𝑣
𝑥
2
+ 𝑣
𝑦
2
+ 𝑣
𝑧
2
) =
𝑣
𝑥
𝑤
𝑥
+𝑣
𝑦
𝑤
𝑦
+𝑣
𝑧
𝑤
𝑧
𝑣
(9) 
formula bilan aniqlanadi. Urinma tezlanish tezlik vektorining vaqt birligi 
ichidagi miqdor jihatdan o’zgarishini harakterlaydi. Normal tezlanish 
𝑤
𝑛
=
𝑣
2
𝜌
(10) 
formula yordamida topiladi. Bu yerda 
𝜌
– trayektoriyaning egrilik radiusi. 
Ko’pincha (10) formuladan trayektoriyaning egrilik radiusining qiymatini 
aniqlashda foydalaniladi
𝜌 =
𝑣
2
𝑤
𝑛
Normal va urinma tezlanishlar berilganda tezlanishning kattaligi va yo’nalishi 
quyidagicha topiladi 
|𝑤
̅| = √𝑤
𝜏
2
+ 𝑤
𝑛
2
, 
cos(𝑤
̅ ^ 𝜏̅) =
𝑤
𝜏
|𝑤
̅ |
; 
cos(𝑤
̅ ^ 𝑛̅) =
𝑤
𝑛
|𝑤
̅ |
(11) 
Yuqoridagi (10) formula trayektoriyaning egrilik radiusi qiymatini aniqlash uchun 
ishlatilgan vaqtda normal tezlanishning qiymati
𝑤
𝑛
= √𝑤
2
− 𝑤
𝜏
2
formula bilan hisoblanadi.

---