Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

4-bob. GIPERBOLIK TURDAGI BIR OʻLCHOVLI TENGLAMANI SONLI 
YECHISH HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR
 
4.1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar turlari. 
Koʻpgina fizik jarayonlarda fizik maydonni tahlil qilish xususiy hosilali 
differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Amalda bunday masalalarni 
analitik usulda yechishning imkoniyati juda kam. Bu tahlil sohasining 
murakkabligidan va birjinslimaslik xossasidan bogʻliq. 
Shunga qaramasdan bunday masalalarni yechishni kompyuter yordamida sonli 
tahlil qilish mumkin. Buning uchun dastlab tadqiqot sohasini ifodalovchi matematik-
fizika tenglamalarning turi aniqlab olinadi. 
Sonli hisob usulini tanlash hisoblanayotgan tenglamalar sistemasi turidan 
bog‘liq. Ikki o‘lchovli masalalar uchun xususiy hosilali ikkinchi tartibli tenglama 
umumiy holda quyidagicha yoziladi: 
0
2
2
2
2
2
2


















g
fu
x
u
e
t
u
d
x
u
c
x
t
u
b
t
u
a
, (*) 
bunda 
u
– ixtiyoriy noma’lum funksiya; 
a
dan 
g
gacha barcha koeffitsientlar 
x
(koordinata) va 
t
(vaqt) erkli o‘zgaruvchilarning va, balki, izlanayotgan 
u
funksiya 
va uning birinchi tartibli hosilalari 
)
,
(
t
u
x
u




ning funksiyalari (oxirgi holda tenglama 
nochiziqli yoki kvachiziqli bo‘ladi) yoki o‘zgarmaslar bo‘lishi mumkin.
Dastlab berilgan (*) xususiy hosilali ikkinchi tartibli tenglamani uning turiga 
qarab kanonik shaklga keltirish lozim: 
1
0
. Berilgan (*) tenglama uchun 
b
2
–
ac 
ifodaning ishorasi aniqlanadi: Chiziqli 
holatda bu tenglama ushbu 
D=b
2
(
x
,
t
)
–a
(
x
,
t
)
c
(
x
,
t
) diskriminantning ishorasiga qarab 
giperbolik, parabolik va elliptik turlarga quyidagicha klassifikatsiya qilinadi: 
b
2
–
ac>0
–
giperbolik turdagi tenglama; 
b
2
–ac=0 – 
parabolik turdagi tenglama; 
b
2
–ac<0
–
el-
liptik turdagi tenglama. Agar (*) tenglama D aniqlnish sohasining har bir nuqtasida 
giperbolik, parabolik va elliptik turda boʻlsa, u holda shu sohada u mos ravishda 
giperbolik, parabolik va elliptik turda deb aytiladi. (*) tenglama aniqlanish sohasining 
bir boʻlagidan (yoki nuqtasidan) ikkinchisiga oʻtishda oʻzining turini almashtirishi 
ham mumkin. Masalan, 
0


yy
xx
u
yu
tenglama 
y
>0 da (
x
,
y
) nuqtalarda elliptik turda; 
(
x
,0) nuqtalarda parabolik turda; 
y
<0 da (
x
,
y
) nuqtalarda giperbolik turda. 
2
0
. Berilgan (*) tenglamani kanonik shalga keltirish uchun quyidagilarni bajarish 
zarur: 

tenglamaning 
)
,
(
),
,
(
),
,
(
y
x
c
y
x
b
y
x
a
koeffisiyentlarini aniqlab olish; 

b
2
–
ac
ifodani hisoblab olish; 

(*) tenglamaning turini aniqlash; 

ushbu 
0
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
2
2



dx
y
x
c
dxdy
y
x
b
dy
y
x
a
xarakteristik tenglamani tuzish; 

ushbu xarakte-
ristik tenglamani 
dy
ga nisbatan kvadrat tenglama sifatida yechish; uning umumiy in-

---

62 
tegrallarini ((*) tenglamaning xarakteristikalarini) topish: 
,
)
,
(
,
)
,
(
2
1
1
1
C
y
x
C
y
x




- 
giperbolik 
turdagi 
holda; 
C
y
x

)
,
(
2

- 
parabolik 
turdagi 
holda; 
C
y
x
i
y
x


)
,
(
)
,
(
3
3


- elliptic turdagi holda; 

yangi oʻzgaruvchilar (xarakteristi-
kalar 

va 

kiritish: giperbolik turdagi tenglama holi uchun 

va 

xarakteristikalar 
sifatida umumiy integrallar 
)
,
(
),
,
(
1
1
y
x
y
x






kabi; parabolik turdagi tenglama 
holi uchun 

va 

xarakteristikalar sifatida umumiy integrallar 
)
,
(
2
y
x



, 

-
ixtiyoriy boʻlib, 
)
,
(
2
y
x

funksiya bilan ifodalanmaydigan ikki marta differensiallan-
uvchi 
2

funksiya, ya’ni 
)
,
(
2
y
x



kabi; elliptik turdagi tenglama holi uchun 

va 

xarakteristikalar sifatida umumiy integrallarlarning ixtiyoriysidan haqiqiy va 
mavhum qismlari kabi olinadi; 

yangi oʻzgaruvchilarda (*) tenglamaga kirgan bar-
cha hosilalarni murakkab funksiyaning differensiali qoidasiga koʻra hisoblash; 

to-
pilgan hosilalarni (*) tenglamaga qoʻyib, uni soddalashtirish. Natijada (*) tenglama 
quyidagi koʻrinishlardan biriga olib kelinadi: 


0
,
,
,
,
1







u
u
u
F
u
- giperbolik 
turda; 


0
,
,
,
,
1







u
u
u
F
u
- parabolik turda; 


0
,
,
,
,
1









u
u
u
F
u
u
- elliptik 
turda.