|
53
3.2. Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish.
Qovushoqmas siqiluvchan gaz uchun Eylerning bir o’lchovli tenglamalari
sistemasi divergent shaklda quyidagicha yoziladi [3]:
,
0
)
(
x
u
t
u
(3.1)
bu yerda
.
)
(
;
2
uE
pu
u
p
u
u
E
u
u
Xususan, (3.1) nochiziqli tenglama qovushoqlik hisobga olinmaganda quyidagi
Byurgers tenglamasini beradi [3]:
0
x
u
u
t
u
yoki
0
2
2
u
x
t
u
. (3.2)
Umuman olganda esa Byurgers nochiziqli tenglamasi quyidagicha yoziladi:
)
,
(
)
(
2
2
t
x
g
x
u
x
u
au
c
t
u
. (3.3)
Byurgers tenglamasi bir o’lchovli Navye-Stoks tenglamasining xususiy holidir.
Gidrodinamikaning ba’zi masalalarini yechishda (3.2) yoki (3.3)
tenglamalarning yechimini topish juda katta amaliy ahamiyatga ega. Buni ko’p
hollarda analitik usul bilan amalga oshirib bo’lmaydi. Shunday paytda bizga (3.2)
yoki (3.3) tenglamalarni har xil chekli ayirmali sxemalar bilan approksimatsiyalash
orqali uni sonli yechish yaxshi natija beradi [3]. Buni quyidagi aniq amaliy masalani
yechish orqali ko’rsatish mumkin.
1-masala.
Quyidagi chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan yeching:
0
)
1
(
x
u
u
t
u
, 0 <
x
1, t > 0,
u
(
x
,0) =
,
2
)
2
(
4
x
arctg
0
x
1,
u
(0,
t
) =
t
e
arctg
2
4
2
, t > 0.
Quyidagi ayirmali to’rni kiritamiz:
,
,
/
1
,
,...,
1
,
0
,
j
t
N
h
N
i
ih
x
j
i
bu yerda
N
–
Ox
o’q bo’ylab tugunlar soni;
– vaqt bo’yicha qadam;
h
–
x
koordinata
bo’yicha qadam. To’r funksiyasini
)
,
(
~
j
i
ij
t
x
u
z
. Bularga ko’ra chegaraviy masalada
54
berilgan tenglamaning
2
,
2
j
i
t
h
x
nuqtadagi ayirmali approksimatsiyasi
quyidagicha yoziladi:
,
0
4
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
h
z
z
z
z
h
z
z
z
z
z
z
z
z
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(3.4)
chegaraviy va boshlang’ich shartlarni approksimatsiyalash esa quyidagicha:
,
2
)
2
(
4
0
i
i
x
arctg
z
(3.5)
j
t
j
e
arctg
z
2
4
2
0
. (3.6)
Hosil bo’lgan (3.4)-(3.6) ayirmali masalani yugiruvchi hisob sxemasi bo’yicha
yechish mumkin. Faraz qilaylik, izlanayotgan to’r funksiyasining biror
t
j
vaqt
momentidagi qiymatlari ma’lum,
t
j
+1
vaqt momentida unng qiymatlarini topish talab
etilsin. Dastlab (4) tentlamani
i
= 0 da yozib olamiz, bunda (6) ga ko’ra
z
0
j
+1
qiymatlar ma’lum. Natijada
z
1
j
+1
ga nisbatan kvadrat quyidagi tenglamaga kelamiz:
0
4
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
1
2
1
ˆ
4
1
)
ˆ
(
2
0
2
0
2
1
0
0
1
1
0
0
1
2
1
1
h
z
z
z
h
z
z
z
z
z
z
z
h
z
h
z
f
. (3.7)
bu yerdagi
h
va
qadamlar ayirmali sxema ustivorligi shartidan topiladi. Bu (3.4)
to’rt nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemaning
ustivorligini maksimum prinsipini qo’llash orqali ko’rsatib bo’lmaydi, ammo spektral
kriteriya bilan (3.4) ning doimo ustivor ekanligini ko’rsatish mumkin [3,4]
Bu kvadrat tenglamani analitik yoki taqribiy hisob usullaridan biri, masalan,
Nyuton usuli bilan yechish mumkin. Faraz qilaylik,
)
(
1
ˆ
k
z
izlanayotgan
1
ˆ
z
ildizga biror
yaqinlashish bo’lsin. U holda (3.7) tenglama ushbu
0
ˆ
ˆ
)
(
1
)
(
1
k
k
z
z
f
ko’rinishni
oladi, bunda
)
(
1
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
k
z
z
z
. Bu tenglamani qatorga yoyib va uni chiziqlilashtirib,
ushbu
)
(
1
)
(
1
)
(
1
ˆ
ˆ
ˆ
k
k
k
z
f
z
z
f
tenglikni, o’z navbatida esa ushbu
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
1
(
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k
k
k
k
z
f
z
f
z
z
iteratsion formulani hosil qilamiz. Iteratsion jarayon
aniqlik bilan
)
(
1
ˆ
k
z
. Shart
bajarilgancha davom ettiriladi. Ketma-ket
N
z
z
z
ˆ
,
...
,
ˆ
,
ˆ
2
1
larni hisoblab, funksiyaning
t
j
+1
vaqt momentidagi qiymati hosil qilinadi.
Hisoblashlarni matematik paketlardan biri (masalan, Maple, Mathcad,
MATLAB yoki boshqa) yordamida bajarish mumkin.
MS Excel elektron jadvali imkoniyatlari ham ushbu masalani muvaffaqiyatli
yechish imkonini beradi. Bu quyidagicha bajariladi:
55
1)
MS Excel-2010 dasturini ishga tushiring. Yangi varaq oching (masalan,
Лист1
). Boshlang’ich ma’lumot sifatida
x
ning qiymatlarini
A2:A52
diapazonga
x
=
0 dan
h
= 0,02 qadam bilan
x
= 1 gacha,
t
ning qiymatlarini
B1:AE1
diapazonga
t
= 0
dan
= 0,01 qadam bilan
t
= 0,3 gacha joylashtiring.
2)
B2
yacheykaga ushbu =4*ATAN(A2-2)/3,14159+2 hisoblashni (3.5) formula
bo’yicha kiriting va uni
B3:B52
yacheykalarga tarqating.
3)
C2
yacheykaga ushbu =(2-4*ATAN(2)/3,14159)*EXP(-C1) hisoblashni
(3.6) formula bo’yicha kiriting va uni
D1:AE1
yacheykalarga tarqating.
4)
C3
yacheykaga ushbu =-3+КОРЕНЬ(9-0,08*((C2-B2-B3)/0,02+(B3-B2-
C2)/0,04+(B3^2-B2^2-C2^2)/0,08)) hisoblashni (bu ifoda (3.7) kvadrat tenglamaning
ildizlaridan biri) kiriting va uni
C3:AE52
yacheykalarga tarqating.
5)
A1:AE52
yacheykalardagi ma’lumotlarni belgilab (
Ctrl+A
),
Вставка
Диаграмма
Поверхность
Проволочная поверхность
tugmachalari orqali
quyidagi grafikni yasang (3.2-rasm).
3.2-rasm. To’rt nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan ayirmali sxema natijasi.
Ushbu (4) to’rt nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan ayirmali sxema oddiy
oshkor va oshkormas sxemalarga nisbatan yuqori aniqlikdagi silliq yechimni beradi.
Chegaraviy masalaning uzilishli yechimlari yoki katta gradiyentli yechimlari
bo’lganda bu ayirmali sxemadan foydalanish maqsadga mufofiq emas.
2-masala.
Yuguruvchi hisob sxemasi va iteratsion usullardan foydalanib,
quyidagi chegaraviy masala sonli yechilsin:
).
(
2
1
1
)
,
0
(
);
2
cos(
)
0
,
(
,
0
;
1
0
,
0
1
2
2
t
arctg
t
u
x
x
u
t
x
x
u
u
u
t
u
Masalani yechishning algoritmi.
Berilgan tenglamani ushbu
56
0
;
1
0
,
0
)
1
ln(
2
t
x
x
u
t
u
ko‘rinishga keltiramiz. Quyidagi ayirmali sxema to‘rini kiritamiz:
,
1
,
...
0
,
,
1
,
...
0
,
S
s
S
j
j
t
N
h
N
i
ih
x
j
i
bu yerda
N
–
Ox
o‘qi bo‘ylab,
S – Ot
o‘qi bo‘ylab tugunlar soni;
h
,
τ
– koordinata va
vaqt bo‘yicha qadamlar. To‘r funksiyani
y
ij
=
u
(
x
i
,
t
j
) kabi kiritamiz. Oxirgi
tenglamaning ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha yoziladi:
,
0
2
)
1
ln(
)
1
ln(
)
ˆ
1
ln(
)
ˆ
1
ln(
2
ˆ
ˆ
2
2
1
2
2
1
1
1
h
y
y
y
y
y
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
(1)
chegaraviy va boshlang‘ich shartlar:
).
(
2
1
1
);
2
cos(
0
0
t
arctg
y
x
y
j
i
Hosil qilingan ayirmali masalani yuguruvchi hisob sxema yordamida yechamiz. (1)
tenglamadan foydalanib,
y
i
+1,
j
+1
ni quyidagi tenglamadan topamiz:
.
0
2
)
1
ln(
)
1
ln(
)
ˆ
1
ln(
)
1
ln(
2
ˆ
)
(
2
2
1
2
2
1
h
y
y
y
u
y
u
y
y
u
f
i
i
i
i
i
i
(2)
(1) tenglama transendent, uni quyidagi usul bilan yechamiz.
y
i
+1,
j
+1
ni ketma-ket
yaqinlashishlar bilan izlaymiz. Faraz qilaylik,
y
i
+1,
j
+1
ga dastlabki biror
u
0
yaqinlashish ma’lum bo‘lsin, u holda (2) tenglama ushbu
f
(
u
0
+Δ
u
0
) = 0 ko‘rinishga
keladi, bu yerda Δ
u
0
=
u - u
0
. Bu tenglamani qatorga yoyib, uni chiziqlilashtirish
orqali quyidagi tenglikka kelamiz:
).
(
)
(
0
0
0
u
f
u
u
f
Natijada navbatdagi va undan
keyingi yaqinlashishlar uchun
)
(
'
/
)
(
1
i
i
i
i
u
f
u
f
u
u
munosabatni hosil qilamiz.
Hisoblashlar jarayoni berilgan ε aniqlikka erishilgunga qadar (|
f
(
u
i
)|< ε) davom
ettiriladi. Xuddi shunday,
y
i
+1,
j
+1
larning qolgan indekslari uchun qiymatlari topiladi.
Hisob natijalari.
Yuqorida keltirilgan hisob shabloni asosida MATLAB dasturi
yaratildi, uning natijalari 1-rasmda tasvirlangan.
N = 100; S = 100; e=0.01;
T = 0.3; h = (1/N); tau = (T/S);
Yrange = 0:h:1; Xrange =
0:tau:T;
for
n=1:N+1,
for
s=1:S+1,
y(n,s)=0;
end
;
end
;
for
n=1:N+1,
a=n*h; y(n,1)=cos(pi*a/2);
end
;
for
s=1:S+1,
t=s*tau; y(1,s)=1+1/2*atan(t);
end
;
for
i=1:N,
for
j=1:S,
yi = dl; ur=yi; ee=ur/(2*tau)+(ul-dl-
dr)/(2*tau)+log(1+ur*ur)/(2*h)+(log(1+dr*dr)-
log(1+dl*dl)-log(1+ul*ul))/(2*h);
while
(abs(ee)>e),
ur=yi; ee=ur/(2*tau)+(ul-dl-
dr)/(2*tau)+log(1+ur*ur)/(2*h)+(log(1+dr*dr)-
log(1+dl*dl)-log(1+ul*ul))/(2*h);
ed=1/(2*tau)+2*ur/((1+ur*ur)*2*h);
yi=yi-ee/ed;
end;
y(i+1,j+1)=yi;
end
;
end
;
surf(Xrange,Yrange,y); colormap
gray
Xlabel(
'T'
); Ylabel(
'X'
); Zlabel(
'U'
);
57
ul=y(i,j+1); dl=y(i,j);
dr=y(i+1,j);
1-rasm. MATLAB dasturi hisobi natijalari.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
