|
3.3. Har xil chegaraviy sharli bir oʻlchovli to’lqin tarqalishi masalalarini
sonli yechish.
Ko'plab gidroinshootlarning matematik modellari matematik fizikaning
nochiziqli to'lqin tenglamalariga olib kelinadi. Bunday masalalarni sonli yechishda
samarali sonli usullardan foydalanish maqsadga muvifiq. Hozirgi kungacha
gidroelastiklikning bunday masalalalarini sonli yechishning ko'pgina samarali va
yetarlicha ustivor ayirmali sxemalari yaratilgan. Masalan, vaznli ayirmali sxemalar,
Krank-Nikolson sxemasi, rasshepleniya usullari va ularning har xil modifikatsiyalari.
Quyida gidroelastiklikning bir o'lchovli nochiziqli giperbolik tipdagi
tenglamasini vaznli ayirmali sxema bilan sonli yechish masalasi qaralgan.
Quyidagi bir o'lchovli nochiziqli giperbolik tipdagi tenglamasini qaraymiz:
,
,
,
,
2
2
2
2
2
x
u
u
x
t
F
x
u
a
t
u
T
t
l
x
0
,
0
,
uni quyidagi boshlang'ich va chegaraviy shartlarda yechamiz:
)
(
)
0
,
(
x
x
u
;
)
(
)
0
,
(
x
t
x
u
;
)
(
)
,
0
(
)
,
0
(
t
x
t
u
t
u
;
)
(
)
,
(
)
,
(
t
x
t
l
u
t
l
u
.
Tadqiqot sohasini quyidagicha to'rga bo'lamiz:
,
]
,
0
[
T
G
где
l
x
x
G
0
,
.
Soddalik uchun
x
koordinata bo'yicha
h
va
t
vaqt bo'yicha
𝜏
ga teng bo'lgan teng
qadamlardan foydalanamiz, shunga ko'ra tor tugunlari quyidagicha:
;
,
,...,
1
,
0
,
,
l
hN
N
i
ih
x
x
i
i
h
;
,
,...,
1
,
0
,
T
M
M
m
m
t
m
.
h
h
Yuqorida berilgan xususiy hosilali differensial tenglamanin sonli yechish uchun
quyidagi uch qatlamli vaznli ayirmali sxemadan foydalanamiz:
58
2
1
1
2
m
m
m
u
u
u
1
1
(
m
u
A
)
(
)
)
1
(
2
2
1
2
2
1
h
O
F
u
u
m
m
m
,
bu yerda
А
– differensial operator bo'lib, berilgan tenglamaning o'ng tarafini
tavsiflaydi;
2
1
,
- ayirmali sxemaning vazn koeffisiyentlari. Berilgan tenglamaning
i
m
x
t
,
nuqtadagi yechimini
m
i
u
bilan belgilaymiz. Vazn koeffisiyentlari
2
1
,
ning chekli qiymatlarida (
0
2
1
и
5
.
0
1
2
1
) berilgan ayirmali sxema
absolyut ustivor.
0
2
1
da sxema oshkor,
0
,
1
2
1
da esa oshkormas,
5
.
0
,
5
.
0
2
1
bo'lganga sxema Krank-Nikolson sxemasiga aylanadi.
Berilgan chegaraviy shartlarning sonli approsimatsiyasi:
)
(
2
0
1
1
0
1
0
0
h
O
d
u
c
u
b
m
m
,
)
(
2
1
1
1
h
O
d
u
b
u
a
N
m
N
N
m
N
N
.
Ichki nuqtalar uchun oshkormas sxema bo'yicha sonli approsimatsiya:
)
(
2
1
1
1
1
1
h
O
d
u
c
u
b
u
a
i
m
i
i
m
i
i
m
i
i
,
i
= 0,1,…,
N
,
m
= 1,2,… .
Bu oxirgi ikkitachiziqli algebraik tenglamalar sistemasi uch diagonalli bo'lib, uni
progonka usuli bilan yechamiz.
m
= 1 da
0
i
u
va
1
i
u
(
i
=0,1,…,
N
) qo'shiluvchilar
boshlang'ich shartlardan topiladi:
)
(
0
i
i
x
u
,
)
(
)
(
2
0
1
O
x
u
u
i
i
i
)
(
)
(
)
(
2
O
x
x
i
i
,
i
= 0,1,…,
N
.
1-masala.
Quyidagi aniq chegaraviy masalani yechamiz:
,
0
,
0
,
sin
2
2
2
2
t
x
x
e
u
x
u
t
u
t
,
0
,
0
,
sin
)
0
,
(
,
0
)
0
,
(
t
x
x
t
x
u
x
u
.
0
,
0
)
,
(
)
,
0
(
t
t
u
t
u
Yechish.
Bu chegaraviy masalaning analitik yechimi:
x
e
u
t
sin
)
1
(
.
Hisoblashlar quyidagi parametrlarda bajarildi:
N
=100,
h
=
/
N
,
2
/
h
,
25
.
0
,
25
.
0
2
1
, Pascal ABC dasturida natijalar olindi (3.3-rasm). Agar
5
.
0
1
2
1
qiymat oshirib borilsa, aniqlik yomonlashib boradi.
2-masala.
Quyidagi nochiziqli chegaraviy masalani yeching (masalan,
nochiziqli-elastik tashqi muhitda sterjenning bo'ylama tebranishi):
,
0
,
0
,
3
2
1
2
2
2
2
t
x
u
u
x
u
t
u
,
0
,
0
,
cos
)
0
,
(
,
sin
)
0
,
(
t
x
x
t
x
u
x
x
u
.
0
,
0
)
,
(
)
,
0
(
t
t
u
t
u
Yechish.
Quyidagi aniq chegaraviy masalani yechamiz:
N
=100;
h
=
/
N
;
2
/
h
;
25
.
0
1
;
25
.
0
2
;
β
1
=0.1;
β
2
=0.1;
=0.01, Pascal ABC dasturida natijalar
olindi (3.4-rasm). Ushbu chegaraviy masalalarni yechishning Pascal ABC dasturi
matni 1-ilovada keltirilgan.
59
3.3-rasm. Chegaraviy masala yechimi.
3.4-rasm. Chegaraviy masala yechimi.
3.4. Giperbolik tipdagi tenglamali ikki
oʻlchovli to’lqin tarqalishi
masalasini sonli yechish.
Quyidagi ikki o'lchovli nochiziqli giperbolik tipdagi tenglamasini qaraymiz:
,
,
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
u
y
u
x
u
u
x
t
F
y
u
x
u
a
t
u
s
T
t
T
l
y
l
l
x
l
0
2
2
1
1
,
,
,
uni quyidagi boshlang'ich va chegaraviy shartlarda yechamiz:
)
,
(
)
,
,
(
1
0
y
x
T
y
x
u
;
)
,
(
)
,
,
(
1
0
y
x
t
T
y
x
u
;
)
,
(
)
,
,
(
2
y
x
T
y
x
u
s
;
)
,
(
)
,
,
(
2
y
x
t
T
y
x
u
s
;
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
1
1
12
1
11
t
y
x
t
y
l
u
t
y
l
u
;
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
1
1
12
1
11
t
y
x
t
y
l
u
t
y
l
u
.
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
2
22
2
21
t
x
y
t
l
x
u
t
l
x
u
;
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
2
22
2
21
t
x
y
t
l
x
u
t
l
x
u
.
Yechish.
Berilgan chegaraviy masala quyidagi parametrlarda ishlandi:
l
1
= 1;
l
2
= 1; T
0
= 0; T
s
= 0,2;
F
= 0;
Yuqorida keltirilgan oshkor ayirmali sxemadan foydalanib, quyidagi chekli
ayirmali tenglamaga kelamiz:
Bu
m
n
ta noma'lumli
m
n
s
= 18
18
6 ta chiziqli algebraik tenglamalar
sistemasi bo'lib, uni MATLAB matematik paketidan foydalanib, sonli yechamiz.
Dastur matni, undan foydalanish oynasi ilovada keltirilgan. Natijalar 3.5-rasmda.
60
a
)
t
= 0
b
)
t
= 0,04
c
)
t
= 0,08
d
)
t
= 0,12
e
)
t
= 0,16
f
)
t
= 0,2
3.5-rasm. Har xil vaqt momentlarida u(x,y,t) funksiyaning to'lqin jarayonlari:
a
)
t
= 0;
b
)
t
= 0,04;
c
)
t
= 0,08;
d
)
t
= 0,12;
e
)
t
= 0,16;
f
)
t
= 0,2
Do'stlaringiz bilan baham: |
