Samarqand davlat universiteti giperbolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

 
1.4. Giperbolik tipdagi bir oʻlchovli tenglamani sonli yechishning har xil 
usullari.
Differensial chegaraviy masala. 
Quyida bir oʻlchovli ikkinchi tartibli giperbolik 
tipdagi xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari bilan 
tanishiladi. Buning uchun quyidagi chegaraviy masala (yupqa torning kichik 
tebranishlari haqidagi masala) qaraladi: 
,
0
,
1
0
),
,
(
2
2
2
2
2









t
x
x
t
f
x
u
a
t
u
u
(0,
x
) = 

1
(
x
),
t


u
(0,
x
)= 

2
(x), 0 

x 

1, (1.1) 
u
(
t
,0) = 

1
(
t
),
u
(
t
,1) = 

2
(
t
),
t
> 0. 
Quyidagi holatlar tahlil qilinadi: 
1) (1.1) chegaraviy masalanni yechish uchun ayirmali sxemalarni tuzish uslublari; 
2) boshlang’ich va chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash muammolari; 
3) hisoblashlar ketma-ketligi. 
To’rli soha. 
Qaralayotgan chegaraviy masala uchun: 
W
h
= [(
t
p
, 
x
m
)],
p
= 0, 1, ..., 
P
,
m
= 0, 1, …, 
M
, 
u
h
= [
u
p
m
],
p
= 0, 1, ..., 
P
,
m
= 0, 1, …, 
M
, 
bu yerda 
u
p
m
– to’r funksiyasining (
t
p
, 
x
m
) tugunga tegishli komponentasi; 
t
p
 = p

; 

- 
vaqt 
t
bo’yicha qadam,
P

 = T
;
h
– koordinata 
x
bo’yicha qadam,
x
m
 = mh
;
Mh
= 1.

---

13 
Ayirmali masala
(
ayirmali sxema
). Qaralayotgan differensial masala uchun 
qo’llanilishi mumkin bo’lgan ayirmali sxemalardan biri quyidagicha: 
p
= 1, 2, …, 
P 
– 1;
m
= 1, 2, …, 
M 
– 1; 
m
= 0, 1, …, 
M
; 
p
= 1, 2, …, 
P
; 
Ayirmali sxemaning shabloni.
Qaralayotgan ayirmali sxema uchun 
berilgan 
m
va 
p
larda yechimning qiymatini 
to’rning to’rtta nuqtasi bo’yicha bog’lovchi 
tuzilma qaralayot-gan ayirmali sxemaning 
shabloni deb ataladi (1.5-rasm). 
 
Approksimatsiya xatoligi
(
tafovut
).
 
 
1.5-rasm. Ayirmali sxemasi 
shabloni.
 
Tafovutning qiymati haqida tasavvurga ega bo’lih uchun dastlab tayanch 
nuqtani berish va bu nuqtaga nisbatan 

 f 
h
(yoki 

 f
m
p
) ifodaganing Teylor qatori-dagi 
yoyilmasiga kiruvchi [
u
(
t
,
x
)] ning qiymatini tasavvur qilish lozim. Masalan, tayanch 
nuqt sifatida (
t
p
, 
x
m
) nuqtani tanlash bilan yuqorida qaralgan ayirmali sxema uchun 
ushbu 
tenglikka ega bo’lamiz. 
Izoh
. To’lqin tenglamasi uchun «xoch» («krest») sxemaning approksimatsiya 
tartibi boshlangich shartlarning approksimatsiya tartibi bilan aniqlanadi. Bu sxema 
ichki nuqtalar uchun har ikkala o’zgaruvchilar bo’yicha ikkinchi tartiblidan kichik 
bo’lishi mumkin. 
Ustivorlikning spektral belgisi. 
Ayirmali sxema ustivorligi to’grisida nazariy 
ma’lumotlarni [1,2,5] adabiyotlardan to’laroq olish mumkin. 
Birjinsli ayirmali masala uchun yechimni quyidagicha izlaymiz: 
Bu yechimni ayirmali tenglamaga qo’ysak, quyidagiga ega bo’lamiz: 

---

14 
yoki 
Ko’rinib turibdiki, bu kvadrat tenglama ildizlarining ko’paytmasi 1 ga teng. 
Agar kvadrat tenglamaning ushbu diskriminanti 
manfiy bo’lsa, u holda 
ildizlar o’zaro qoshma komplek va ularning moduli birga teng. 
Ayirmali sxema ustivor bo’lishi uchun ushbu 

1 tengsizlik bajarilishi zarur, 
ya’ni {

, 
h
} shunday tanlanishi lozimki, quyidagi tengsizlik bajarilsin: 
1
)
/
(
2

h
a

.