Samarqand davlat universiteti fizika fakulteti qattiq jismlar fizikasi kafedrasi

1.Qattiq jismlarning issiqlik sig’imi

Kristall panjaraning ichki energiyasi uni tashkil qilgan atom va molekulalar energiyalarining yig’indisidan iborat. Madomiki, kristall atomlari tebranma harakatda bo'lib, fononlar hosil qilib turar ekan, u holda kristallning to'la energiyasi undagi fononlar energiyasining yig’indisiga teng.

Kristall panjarasining issiqlik sig’imi uning xaroratini 1 gradusga orttirish uchun kerak bo'lgan issiqlik miqdorini bildiradi
(1.1)
Jismga yoki ular sistemasiga issiqlik berilsa, termodinamikaning 1 - qonuniga ko'ra dQ=dU+rdV=dU, chunki kristallning xajmi sezilarli o'zgarmaydi. U holda
(1.2)
bu erda dU - kristall ichki energiyasining o'zgarishi.Buni e'tiborga olsak, kristallning issiqlik sig’imi uning xarorati 1 gradusga ortganda kristallning ichki energiyasi qanchaga o'zgarishini bildiradi.

Demak, kristall issiqlik sig’imini aniqlash uchun uning ichki energiyasining xaroratga bog’lanishini bilish kerak. Kristall kvant sistema bo'lgani uchun uning ichki energiyasini kvant statistikasi yordamida aniqlaymiz.

dU=dN (1.3)
bu erda dN chastotalari  va +d oraliqida bo'lgan kristalldagi fononlarning soni
dN= ^. f ^. dg (1.4)
bundagi =3, chunki bir xil chastotali 3 xil fononlar bir yo'nalishda tarqalishi: (ikkita ko'ndalang va bitta bo'ylama fononlar mavjud bo'lishi) mumkin;

impulslari r va r+dr intervalda bo'lgan kvant holatlar zichligi;

Boze - Eynshteyn taqsimot funktsiyasi, chunki fononlarning spini butun son yoki 0 ga teng va ular uchun =0.
Endi fononning energiya va impulslari bilan chastotasi orasidagi ma'lum bog’lanishlarni Е= va р=/v (v - fononning tezligi) inobatga olib, (1.4) ni quyidagicha yozamiz
(1.5)
U holda kristalldagi chastotalari  va +d bo'lgan fononlarning energiyasi

Bundan

,  (1.6)

bu erda _m =  - fononlarning maksimal chastotasi.

(1.6) dan T bo'yicha xosila olib, kristall panjara issiqlik sig’imining umumiy ifodasini topish mumkin.
Soddalik uchun past va Yuqori temperaturalardagi issiqlik sig’imini aniqlaymiz:
1-hol. Yuqori temperaturlar sohasida 0 + 3kTN (1.7)
bu erda U₀ - kristall panjaraning T = 0 dagi ichki energiyasi.
Bir mol kristallda N=N_A bo'lgani uchun U_ = 3N_A kT.
U holda Yuqori temperaturalarda kristallning molyar issiqlik sig’imi
S=dU/dT=3kN_A=3R (2.10)
(11.10) haqiqatdan xam Dyulong va Ptilar tajribada aniqlagan natijaning aynan o'zidir.
2 -hol. Past temperaturalar sohasi >>kT.
(1.8) da o'zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:
х=/kT, х_m=_m/kT ва _m=k (2.1)
bu erda 0 ni - Debayning xarakteristik xarorati deyiladi. Uning ma'nosi quyidagicha: xarorat 0 dan gacha o'zgarganda kristallda chastotalari 0 dan m gacha mumkin bo'lgan fononlar hosil bo'ladi. dan boshlab kristallda m dan katta chastotali fononlar hosil bo'lmaydi. (2.11) dan
(2.1)
(2.12) ni (2.8) ga qo’yamiz

bundagi  ekanini inobatga olsak,

U holda issiqlik sig’imi

yoki

Demak, past temperaturalarda issiqlik sig’imi temperaturaning kubiga proportsional ekan
СТ³
Buning sababi shuki, xaroratning ortishi bilan fononlarning kontsentratsiyasi T3 bo'yicha ortadi.
Xaroratning oraliq sohasida ichki energiya va issiqlik sig’imi murakkabroq o'zgaradi. Umumiy holda (2.8) dan T bo'yicha hosila olib S ni topish mumkin. harorat ga yaqinlashgani sari fononlar kontsentratsiyasining ortishi ham sekinlashadi
Qattiq jismning fazoviy panjarasini tashkil qiluvchi har bir zarra (atom yoki ion) muvozanat vaziyat atrofida tebranib turadi. Qattiq jismning ichki energiyani mana shu tebranishlarning energiyasidan iboratdir. Qattiq jismlardagi zarralarning issiqlik harakati, gaz va suyuqliklardagi zarralarning issiqlik harakatidan shuning uchun farqlanadi. Gazlarda alohida molekulalar erkin uchib yuradi va bir-biri bilan faqat elastik to`qnashishlarga uchraydi; gazlarda diffuziya jarayoni tezlik bilan o`tishiga olib keladi.
Suyuqliklarda esa molekulalar o`zining tartibsiz harakati tufayli qo`shni molekulalar bilan uzluksiz tebranib turadi. Suyuqliklarda ham, gazlardagiga nisbatan sekinroq bo`lsada diffuziya mavjuddir. Ammo qattiq jismlarda zarralar (atom va ion) ma`lum muvozanat atrofida tebranib tursada, bir joydan ikkinchi kamdan kam holda joyga o`tishi mumkin, shu sababli diffuziya juda sekin bo`ladi. Qattiq jismning temperaturasi ko`tarilsa, zarralarning muvozanat vaziyatlardan chetlanishlari ko`payadi. Bu qattiq jismni issiqlikdan kengayishiga olib keladi.
Ma`lumki, qattiq jismning 273 К temperaturadagi uzunligini L<sub>0</sub> ga teng deb olib, uning Т temperaturagacha qizdirgandagi L uzayishini quyidagicha ifodalash mumkin:
(1.1)
bunda   qattiq jismning issiqlikdan chiziqli kengayishi koeffisiyenti. Bundan jismning T temperaturadagi L<sub>Т</sub> uzunligi;
(1.2)
ya`ni qattiq jismning uzunligi temperatura bilan chiziqli bog`lanishda o`sadi.
Qattiq jismlar uchun chiziqli kengayish koeffisiyenti kichik bo`lib, ular 10<sup>-5</sup> va 10<sup>-6</sup> grad<sup>-1</sup> ga yaqin kattalik atrofida bo`ladi. Agar (1.2) dan  ni aniqlasak
(1.3)
ni topamiz. Demak,  jismning nisbiy chiziqli kengayishi ning temperatura o`zgarishi Т ga nisbati bilan aniqlanadi:

Chiziqli kengayish natijasida jismning hajmi ham kattalashadi. Qirralarining uzunligi L₀ bo`lgan kub shaklidagi jismning ko`z oldimizga keltiraylik; uning ga teng bo`lgan dastlabki hajmini V₀ orqali belgilaymiz. U holda T temperaturadagi hajm

Bu ifodadagi (1+Т) binomni kubga oshirib, ² hamda ³ qatnashgan hadlarni etiborga olsak,

bo`ladi. 3 ni  orqali belgilasak,
(1.4)
Bu yerdagi kattalik  qattiq jismning issiqlikdan haymiy kengayish koeffisiyenti deyiladi.
Anizotron kristallarda chiziqli kengayish koeffisiyenti  turli yo`nalishlar uchun turlicha bo`ladi. Natijada kristall kengaygandan so`ng, o`ziga o`xshash bo`lmay qoladi: kristall o`z shaklini o`zgartiradi. Ammo kristallning to`g`ri chiziqli issiqlikdan kengayishi, to`g`ri chiziqligicha qolaveradi. Bu yo`nalishlar kristallografik o`qlar deyiladi. Issiqlikdan kengayish koeffisiyenti  ning mana shu yo`nalishlar bo`yicha olingan qiymatlari bosh qiymatlar deyiladi. Umumiy holda kristallar uchta shunday o`qqa va issiqlikdan chiziqli kengayishning uchta bosh koeffisiyenti , ₂ va ₃ ga egadir.
Kristallning hajmiy kengayish koeffisiyenti taqriban chiziqli kengayishning bosh koeffisiyentlari yig`indisiga teng. Izotrop jism uchun va bu holda ga teng bo`ladi.
Qattiq jismning ichki energiyasi jismni tashkil qiluvchi zarralarning zapas tebranish energiyasidan va shuningdek, ularning o`zaro potensial energiyasidan iboratdir, ya`ni ga teng bo`ladi. Kristall panjarani tashkil qiluvchi zarralar (atomlar va ionlar) umuman aytganda, erkin bo`lmaydi, chunki ular orasida anchagina o`zaro ta`sir kuchlari bo`ladi. Shuning uchun zarralarning tebranishlarini bog`langan tebranishlar deb qarash kerak; butun panjarada turli chastotali tebranishlar vujudga keladi. Shu tebranishlarning energiyasi nazarga olinishi kerak.
Har bir zarra muvozanat vaziyat atrofida tebranma harakat qiladi. Zarra tebranishining o`rtacha energiyasini aniqlash uchun, zarra ham kinetik, ham potensial energiya zapasiga ega bo`lishini e`tiborga olish kerak.
Har bir zarra muvozanat vaziyat atrofida uch yo`nalishda tebranishini e`tiborga olinsa, zarraning erkinlik darajasi i=3 ga teng bo`ladi. Shuning uchun o`rtacha kinetik energiya

teng bo`ladi. Bitta zarrani o`rtacha energiyasining to`la qiymati

Bir mol qattiq jismning to`la ichki energiyasi U ni topish uchun, bir zarraning o`rtacha energiyasini bir molda bo`lgan erkin tebranuvchi zarralar soniga ko`paytirish kerak
(1.5)
bu yerda gaz doimiysi.
Issiqlikdan kengayish koeffisiyenti kichik bo`lgan qattiq va o`zgarmas hajmdagi va o`zgarmas bosimdagi issiqlik sig`imlari amalda bir-biridan farq qilmaydi. Hajm o`zgarmas bo`lganda issiqlik berilsa, bu issiqlikning hammasi ichki energiyani ortishiga sarf bo`ladi. Shuning uchun o`zgarmas hajmdagi atomning issiqlik sig`imi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:

ya`ni barcha ximiyaviy sodda kristall qattiq jismlarning atom issiqlik sig`imi yetarli darajada yuqori temperaturada 6 kal/Kmol ga tengdir. Bu xulosa Dyulong va Pti qonuni deb yuritiladi.
Dyulong va Ptilarning o`zlari bu qonunni uy temperaturasi sharoitida bir qancha qattiq jismlar uchun olingan empirik ma`lumotga asoslanib kashf etganlar. Al-alyuminiy, Fe-temir, Au-oltin, Cd-kadmiy va shu kabi moddalar uchun С=6 kal/Kmol ga yaqin, ya`ni ular uy temperaturasida atomlar amalda bir-biridan mustaqil ravishda tebranishi uchun yetarlidir: bu jismlar uchun Dyulong va Pti qonuni bajariladi. Olmos, kremniy va Bor uchun uy temperaturasi atom issiqlik sig`imlari 6 kal/Kmol dan ancha kichik.
Ximiyaviy murakkab moddalarning ko`pchilik kristallari ion xarakteridagi kristallar bo`ladi. Masalan, gazsimon natriy xlorning bir molidagi Nacl molekulalarining soni Avagadro soni N ga teng bo`ladi. Osh tuzi kristalida esa panjaraning tugunlarida joylashgan Na<sup>+</sup> va Cl<sup>-</sup> ionlar bo`lib, ularning umumiy soni 2 N ga teng bo`ladi. Kristall osh tuzining molyar issiqlik sig`imi

ga yoki taqriban 12 kal/Kmol ga teng bo`lishini topamiz. Shuningdek barcha boshqa ikki atomli birikmalarning ham qattiq holatdagi molyar issiqlik sig`imi taqriban 12 kal/Kmol ga teng bo`lishi kerakligi kelib chiqadi. Uch atomli birikmalarning molyar issiqlik sig`imi, taqriban, 18kal/Kmol ga, to`rt atomli birikmalarning molyar issiqlik sig`imi taxminan, 24kal/Kmol ga teng bo`lishi kerak.
Demak, moddaning ichki еnergiyasi tashqi ta`sir hisobiga ortishi yoki kamayishi mumkin. Bunday holat o`rinli bo`lganida moddatar bir-biriga issiqlik uzatadi yoki ulardan issikdik oladi. Bunday hodisa issiqlik almashinuvi deb yuritiladi.