Samarand davlat universiteti raqamli texnologiyalar fakulteti

2.3Ayirmali sxemaning turg’unligi.

Biz ayirmali sxemaning turg’unligini Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini yechish misolida ko’rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, G soha to’g’ri burchakli to’rtburchak G 0  x1  a,0  x2  b bo’lib ,  uning chegarasi bo’lsin. Shunday funksiyani topish kerakki , u G da
22
Tenglamani qanoatlantirib,  chegarada Dirixle shartini qanoatlantirsin
23
Bunda ma’lum funksiya. Faraz qilaylik, 22 23 chegaraviy masala G  GUГ sohada yagona yechimga ega va bu yechim G da va uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin.
Biz quyidagi to’g’ri burchakli to’rtburchaklardan iborat bo’lgan to’rni qaraymiz:
24
Endi G da yotuvchi barcha tugunlarni deb olib chegaraviy nuqtalar sifatida  da yotuvchi tugunlarni olamiz. Keyin

Laplas operatorini ga tegishli nuqtalarda besh nuqtali andaza yordamida
(25)
i=1,2,………,M-1,k=1,2,…….,N-1
Ayirmali sxema bilan approksimatsiya qilamiz. Agar bo’lsa, u holda 26 approksimatsiyaning xatoligi

dan iborat. 23 shartni quyidagilarga almashtiramiz:
26
Qaralayotgan soha to’g’ri burchakli to’rtburchak bo’lganligi tufayli 26 approksimatsiyaning xatoligi nolga teng. Chegaradagi 26 qiymatlar ma’lum bo’lganligi uchunularni 25 tenglamaga qo’yib, keyin ma’lum hadlarni o’ng tomonga o’tqazib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(27)
Ravshanki , 27 tenglamalar faqat chegara yaqinidagi tugunlarda 25 tenglamalardan farq qiladi. Masalan , i,1 ko’rinishdagi tugunlarda 27 tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:



27 sistemada tenglamalarning soni noma’lumlarning soniga teng. Shuning uchun ham 25 sistemaning matritsasini to’r ustidagi funksiyani o’ziga

akslantiradigan chiziqli operatordek qarash mumkin.

Endi 25,26 tenglamalar sistemasining yagona yechimi mavjudligini ko’rsatamiz.