Samarand davlat universiteti raqamli texnologiyalar fakulteti

2. ASOSIY QISM


2.1 ELLIPTIK TENGLAMALARNI TO’R METODI BILAN YECHISH.
Quyidagi
1

Elliptik tenglamani ayirmali tenglama bilan almashtirganda hosil bo’ladigan xatolikni baholashni ko’rib chiqamiz. Bu yerda hisoblashlar sodda bo’lishi uchun aralash hosilaning oldidagi koeffisientni bx₁ , x₂   0 deb oldik. 1 differensial tenglamaning u(x,y) yechimini to’rtinchi tartibli xususiy hosilalarga ega deb faraz qilib va Teylor formulasidan foydalanib,

taqribiy tengliklar o’rnida quyidagilarni hosil qilamiz:

(2)

(3)

(4)

(5)

Endi (2)-(5) lardan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz.

Bunda h=h₁ , bo’lib R_ik- qoldiq had. Agar ushbu

Belgilashni kiritsak, qoldiq had uchun

(6)
Baho o’rinli bo’ladi. Demak ,

Bundan ko’ramizki, 1 differensial tenglamani ayirmali tenglama bilan almashtirganda R_ik xatolik hosil bo’lib , uning h qadamga nisbatan tartibi h² dir. Agar R_ik qoldiq hadni tashlasak, to’r ustidagi y_ik funksiya uchun

7
Tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Xususiy holda ushbu
8

Puasson tenglamasi uchun h₁  h₂  h kvadrat to’rni qarasak , u holda 7 tenglamalar sistemasi

9

ko’rinishga ega bo’lib, 6 dan qoldiq had uchun

10
bahoga ega bo’lamiz.

Ayirmali tenglama hosil qilish uchun aniqmas koeffisientlar metodi.

Yuqoridagi differensial tenglamani i,k nuqtada ayirmali tenglama bilan almashtirganda har bir xususiy hosilali alohida-alohida bo’lingan ayirmalar bilan almashtirgan edik. Differensial tenglamani to’laligicha ayirmali tenglama bilan almashtirish mumkin. Hozir qaraladigan metodda to’r soha to’g’ri to’rtburchakdan iborat bo’lishi shart emas, to’r uchburchaklar , parallelogramlardan iborat yoki umuman notekis bo’lishi ham mumkin. Differensial tenglamani i,k tugunda ayirmali sxema bilan almashtirish uchun i,k tugun atrofini ma’lum tartibda joylashgan P ta tugunni qaraymiz. Qulay bo’lishi uchun i,k tugunni 0 orqali belgilab, qolgan tugunlarni 1,2,.......,P orqali belgilaymiz. Endi aniqmas koeffisientlar bilan ushbu
11
chiziqli kombinatsiyani tuzamiz, bunda miqdor u ning j tugundagi qiymati. Faraz qilaylik , u funksiya n 1 tartibli hosilalarga ega bo’lsin, u holda larni 0 tugun atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:
(12)
j=1,2,……,….

Bu ifodalarni 11 ga qo’yib , u funksoyaning bir xil hosilalari oldidagi koeffisientlarni qo’shib chiqamiz, natijada

13
Bu yerda koeffisientlar lar orqali chiziqli ravishda ifodalanadi. Qoldiq had esa ko’rinishga ega bo’ladi, bunda 1, K qandaydir son bo’lib, h bog’liq emas; h ning o’zi esa 0 tugun va jj 1,2,.....,P tugunlar koordinatalari ayirmalarining moduli bo’yicha eng kichigi hamda



Endi G sohada n 1 tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lgan har qanday funksiya uchun
14
tenglikning bajarilishini talab qilamiz. Buning uchun j c koeffisientlarni shunday tanlashimiz kerakki , 0  i  k  n shartni qanoatlantiruvchi barcha i va k uchun 14 tenglikning chap va o’ng tomonlarida oldidagi koeffisientlar ustma-ust tushsin. Bu esa noma’lum koeffisientlarga nisbatan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi:




…………………………………………

Agar bu sistema yechimga ega bo’lib, yechim (j=0,1,….,P) bo’lsa, u holda
15
Endi qoldiq hadni tashlab yuborib, ning to’r ustidagi taqribiy qiymati y uchun ushbu
16
Ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama 1 differensial tenglamani 0 tugunda aniqlikda almashtiradi.
Chegaradan uzoqroq ichki tugunlar uchun ayirmali tenglamani tuzishda qatnashadigan tugunlarining joylanishini 16 dagidek saqlash maqsadga muvofiq bo’ladi. Chegaraga yaqin tugunlar uchun bu holatni saqlash har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Ammo qaralayotga metodda tugunlarni biroz boshqacha joylashtirib , differensial tenglamani kerakli aniqlikda ayirmali tenglama bilan almashtirish mumkin. Bu metod chegaraviy shartlarni approksimatsiya qilish uchun yaxshi natujaga olib keladi.