S kurbaniyazov, R. Q. Turniyazov

3.3. Garmonik tebranishlarni qo’shish
Ko’pincha jism bir yoki bir necha tebranma harakatlarda ishtirok etayotgan holda bo’ladi. Masalan, sharcha prujina orqali ressorlari tebranayotgan vagon shipiga osilgan bo’lsa, uning Yerga nisbatan harakati vagonning tebranishi prujinaning vagonga nisbatan tebranma harakatlarining yig’indisidan iborat bo’ladi. Hosil bo’lgan yig’indi tebranishlarning tabiati qo’shiluvchi tebranishlarning fazasi, chastotasi, amplitudasi va yo’nalishlariga bog’liq bo’ladi.
Garmonik tebranishlarni qo’shishning oddiy hollarini qaraymiz.
1. Bir yo’nalishda tarqalayotgan ikki tebranishlarni qo’shish. Doiraviy chastotalari va fazalari bir xil, amplitudalari har xil.  (163)
 (164)
Jismning bir yo’la ikki tebranma harakatda muvozanat holatdan siljishi x alohida tebranishlardagi siljishlari x₁ va x₂ larning algebraik yig’indisidan iborat:
 (165)
ya’ni amplitudasi A₁ va A₂ larning yig’indisi A dan iborat shunday chastotali garmonik tebranishlar hosil bo’ladi.
2. Doiraviy chastotalari va amplitudalari bir xil, fazalari har xil  ;  bu yerda Ө-fazalar farqi. Sinuslar qo’shish formulasini qo’llab, quyidagini olamiz:
 (166)
bu holda shunday chastotali, ammo faza jihatdan birlamchi fazalar farqining yarmiga farq qiladigan garmonik tebranishlar hosil bo’ladi.
B=2Acos amplituda birlamchi tebranishlar amplitudalari yig’indisidan kichikdir. Faqat fazalar farqi 2π₊ ga karrali bo’lganda B=2A bo’ladi. Fazalar farqi (2n+1)π (bu yerda n=0,1,2,3…) bo’lganda, B=0 va qo’shiluvchi tebranishlar «so’nadi».
3. Amplitudalari bir xil doiroviy chastotalari bir-biridan kam farq qiladi:
 
U holda  (167)
Natijaviy tebranishlar garmonik bo’lmagan tebranishlardan iborat bo’ladi, chunki x=Asinωt tenglamaga mos kelmaydi. Ammo bo’lgani uchun natijaviy tebranishlarni qariyb vaqt davomida juda sekin o’zgaruvchi doiroviy chastotasi, davrga va amplitudaga ega bo’lgan garmonik tebranishlar deb hisoblash mumkin. Bunday ko’rinishdagi tebranishlar biyeniye deb ataladi (34-rasm).
II. Bir-biri bilan o’zaro perpendikulyar tebranishlarni qo’shish.
1. Doiroviy chastotalari va fazalari bir xil, amplitudalari har xil. x=Asinωt: y=A₂sinωt bu yerda x va y- jismning birinchi va ikkinchi tebranishlari tufayli hosil bo’lgan siljishlari ikkinchi tenglamani birinchisiga bo’lsak ni olamiz, bu to’g’ri chiziq tenglamasidir. Binobaring, natijaviy tebranishlar muvozanat vaziyatidan o’tuvchi to’g’ri chiziq yuzaga kelgan birinchi tebranishlarga nisbatan α burchak ostida o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’ylab hosil bo’ladi: . Natijaviy siljish
Bu yerda -natijaviy tebranishlar amplitudasi:
 ;  (168)
Bu ikki tenglamalarga asosan, sinωt; cosωt munosabatlarni olamiz, uning ikkala tomonlarini kvadratga ko’taramiz va o’ng va chap tomonlarini mos ravishda qo’shamiz, u holda formula (196)

Bu ellips tenglamasidan iboratdir. Binobarin, jismning natijaviy harakati yarim o’qi qo’shiluvchi tebranishlar amplitudalariga teng bo’lgan ellips bo’ylab yuzaga keladi. Agar A₁=A₂=A bo’lsa, ellips tenglamasi aylana tenglamasi (x²+y²=A²) ga o’tadi va jism aylana chizadi. Ө=0 va Ө=π bo’lsa, ellips to’g’ri chiziqqa aylanadi. Agar qo’shiluvchi tebranishlar har xil chastotaga ega bo’lsa, natijaviy harakat trayektoriyasi murakkab va hosil bo’ladigan shakllar ko’rinish jihatdan har xil bo’ladi. Ularga Lissaju figuralari deyiladi.