Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

4.2.2

Questioning students about theoretical material

Traditionally, a lesson in Russia began with a student being called up

to the blackboard to prove a theorem that had been proven during

the previous lesson. Naturally, such responses often relied on rote

learning, and it is no accident that the memoirs of 19th century writers

so often mention the cleverness of a teacher who had, for instance,

rearranged the letters that indicated the vertices of a triangle, thus

catching everyone off-guard (Karp, 2007b). Yet, the opportunity to

hear and talk about a given proof one more time, as well as the chance

to carry it out in front of others, was very beneficial to students’

mathematical development. Today, the inadequate time allotted to

the study of mathematics in the Russian school curriculum makes it

impossible for teachers to systematically devote to theoretical material

the attention that it deserves. Nevertheless, students’ knowledge of

theoretical material is still tested orally in class. Students are called up

to the blackboard and asked either to prove one theorem or another,

or to analyze one theoretical issue or another from beginning to

end. Most often, students are given such tasks in geometry classes

(for example, while studying parallelograms, one student might be

called up to the blackboard to prove that the opposite sides and

angles of a parallelogram are congruent, while another might be

called up to prove that a parallelogram’s diagonals bisect each other).

However, even in algebra or calculus classes, one comes across students

being questioned about theoretical matters. For example, a student

might get called up to the blackboard to prove the so-called Viète’s

theorem about the relation between the roots and coefficients of a

quadratic equation or to talk about the properties and the graph of the

function

y = x

3

.

The student usually spends about five minutes preparing the answer,

and the answer itself lasts from five to ten minutes, depending on

the question and the level of the student’s knowledge. A questioning

session of this kind may come as a surprise for the students in the class

(i.e. the students may have been asked to learn the proofs, but not told

when they would be required to talk about them), or it may come after

being announced during the previous lesson. Moreover, sometimes

during the previous lesson, the teacher will have listed the names of

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch08

Assessment in Mathematics in Russian Schools

343

several students who might be called up to the blackboard during the

next lesson to answer questions about tasks already known to them.

Students’ responses to questions may also take the form of “reports”

on assigned topics which are prepared in advance.

While one student is responding at the blackboard, another student

might be given a chance to prepare for an answer at his or her seat. In

certain cases (particularly in the case of a relatively lengthy report),

a student may be permitted to use a plan or even a summary of the

answer, prepared in advance and written down on a sheet of paper

or in a notebook. Based on our observations, the report approach is

by no means always successful and sometimes results in the student

monotonously reading a prepared text, often something downloaded

from the Internet.

While a student is giving a lengthy oral response to a question,

the other students in the class must listen attentively. To engage their

attention, the teacher may ask them questions while the answer is being

presented, or they may be asked to provide oral or written responses to

the presentation they have heard. At the end of the presentation, the

students in the class, as well as the respondent himself or herself, may be

asked to grade the response and then compare it with a grade proposed

by the teacher. After a grade is given, it is useful to ask respondents

whether the grade makes sense to them, and if not, to explain it to them.

4.2.3

Solving problems on the blackboard

An enormous portion of the time devoted to studying mathematics

in Russian schools is spent on problem solving. As a rule, teachers

explain the theoretical material in class or tell students to read about

it in a textbook; only relatively rarely do they question students about

it. Problems are a different matter. The art of teaching manifests itself,

in this instance, not in the way in which teachers themselves solve

problems on the blackboard, but in the way in which they organize

problem solving by the students. Solving a problem in class differs in

significant ways from solving a problem independently with a problem

book, if only because the teacher can unobtrusively help the student

and direct him or her.

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch08

344

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Solving problems generally means moving along an unknown path,

and therefore the student can naturally stop in order to think things

over. On the other hand, if the student thinks for too long, the lesson

will be lost. There are various approaches to dealing with this difficulty.

One method is as follows. Student A is called up to the blackboard

to solve a sufficiently easy problem (in the teacher’s opinion, this

student should be able to handle this problem). At the same time,

students B and C are given problems, told to read them, and asked to

prepare answers at the blackboard. While student A spends three or four

minutes solving his or her problem together with the class, student B

has time to get a sense of the solution of his or her more difficult

problem and go up to the blackboard, if not with a solution in hand,

then with its plan; at the same time, a fourth student, D, will receive

his or her own problem and get prepared while student B, and then

student C, give their solutions. Ideally, each problem should be selected

to match the level of the student to whom it is assigned: students should

be capable of solving the problem they are given. Other students in the

class may be drawn into solving a problem by being asked to suggest

their own approaches and to correct the mistakes they have noticed.

Such a process is virtually impossible to program in advance; to organize

it, a teacher must not only grasp the conditions and solution of the

problem, but also quickly determine which of the student-suggested

approaches to solving it are incorrect and which are correct, and which

of the correct approaches are rational and which are irrational; the

teacher must give the students the freedom to be creative and at the

same time lose neither the time nor the thread of the lesson.

Giving grades to students who are solving a problem on the black-

board is also a delicate matter. Quite often, teachers refuse altogether

to give formal grades for solutions to new problems presented on the

blackboard, believing that the threat of getting a bad grade becomes

a source of stress for students and makes it difficult for them to think.

An informal grade, however, is present in any case, since the problem’s

solution is either accepted or not accepted by the teacher and the class.

There exists an opposing point of view, according to which a grade that

is clearly stated by the teacher is useful both for the class and for the

student.

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch08

Assessment in Mathematics in Russian Schools

345

Traditional Russian methodology required that students not simply

solve a problem on the blackboard, but also comment on and explain

their actions (for example, that they point out the equivalence of various

equations or identify those properties of functions which are used in the

solution, etc.). Today, in many classes, one can see teachers themselves

providing necessary commentary or asking students for explanations

once the solution has been written down, recognizing that students

should not be interrupted while solving an unknown problem.