Russian Mathematics Education

On Mathematics Education Research in Russia

463

in particular analyzing the works of Russian methodologists of the

first half of the 20th century, who effectively promulgated the genetic

method of exposition. He also discusses the works of contemporary

foreign researchers, which is quite rarely done in Russian studies of

mathematics education. As a practical example of the application of his

general conception, he works out a three-stage system for studying the

following topic at a pedagogical university: divisibility of integers —

Euclidean rings — polynomials (presenting the natural development

of an idea). Other concrete methodological recommendations are

formulated as well. The author’s proposals have been put into teaching

practice at some pedagogical universities.

While the two studies just mentioned are devoted to general issues

in mathematics education, the recent work by Kalinin (2009) deals

exclusively with the teaching of differential and integral calculus.

In this work, several themes may be identified. First, the author

proposes new (at least for a pedagogical university) mathematical

approaches to defining the basic concepts of calculus, along with

new mathematical topics that may, according to him, facilitate the

presentation of elementary calculus in schools in a manner accessible

to the students. Second, the author proposes and advocates certain

formats for organizing instruction, which are connected, for example,

with scientific research done by the students; and methodological

approaches connected, for example, with the problem of developing

an in-depth understanding of the course. Third, the author offers a

theoretical analysis of the requirements for teaching calculus based

on the “fundamentalization” of education, which he defines as a

convergence of the educational process and scientific knowledge. The

ideas proposed by him were implemented over a number of years at a

pedagogical university in Vyatka.

Another recent work, by Sotnikova (2009), is devoted to the orga-

nization of the activity of pedagogical university students in discovering

substantive connections in the course in algebra. After noting that

the knowledge of pedagogical university graduates is often lacking

in depth, and in particular that they often have no understanding

of the course in mathematics as a unified whole, the author gives

examples of subjective connections in the course in algebra, which

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch10

464

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

are, in her opinion, especially important because the course is quite

abstract. Such connections, for example, may be seen in the analogies

between the conceptions and propositions studied in different areas

of algebra (group theory, ring theory, theory of algebras). The author

offers a theoretical analysis of the notion of a “substantive connection”;

she also develops a theoretical interpretation of the process by which

students come to grasp the course in algebra. Her general analysis

constitutes the basis of her methodological recommendations, which

are aimed in particular at stimulating and organizing independent work

by the students on establishing substantive connections in algebra.

In connection with these ideas, the author has prepared the model

(program) for a pedagogical university course in algebra, which she

has put into practice.

Kostitsyn’s (2001) work is devoted to teaching geometric modeling

and developing the spatial imagination. He describes an experiment

he conducted in which fifth-year students were given two problems

from a pedagogical university entrance exam. Only 17% of the students

solved the problems, while only 15% made correct representations of

the objects involved in the problems (the other 2% found the correct

answers using incorrect diagrams). However, when comparatively

difficult problems were given with diagrams in the next experiment,

80% of the students solved them. Thus, Kostitsyn concludes that the

ability to construct geometric models — and, more broadly, the spatial

imagination — is actually not developed at all over the years of study

at a pedagogical university. He proposes several courses meant to help

in this respect, enunciating numerous concrete suggestions, some of

which pertain to the use of technology. These courses have been taught

at certain pedagogical institutes.

Among the studies that we are discussing, two are devoted to

teaching logic at a pedagogical institute. Igoshin (2002) undertakes

a multifaceted analysis of the role and place of mathematical logic

and even logic in general, for example in comparison with intuition.

Turning to practical issues in education, he takes the position that

logic and the theory of algorithms must be taught not just as a

separate mathematical subject, but as the most fundamental and

leading subject which supports teaching of all other mathematical

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch10

On Mathematics Education Research in Russia

465

subjects. Consequently, he emphasizes the importance of identifying

and clarifying for the students the use of logical principles in all

mathematical and even methodological disciplines that they study.

He likewise emphasizes how important it is for each component of

the course to have a professional orientation — in other words, how

important it is that it be directed at the students’ future pedagogical

activity. These ideas are embodied in courses and teaching manuals

developed by him.

Timofeeva’s (2006) study is devoted to designing a course in

mathematical logic on the basis of the so-called theory of natural

deduction. She notes that, for example, the work of Igoshin (2002),

discussed above, is based on the traditional format of the course and

“relies on the didactic possibilities mainly of its linguistic component,

while the deductive component of the course is practically unused [in

the study]” (p. 3). Preserving the content of the course, Timofeeva

structures it in a different fashion, as she writes, “thus providing

for the study of the most adequate, simple, and visual models of

proofs” (p. 3). She contends that some of the approaches she suggests

may be used directly by future teachers in schools. Her theoretical

analysis is multifaceted and, in particular, includes the identification of

various types of deductive activity. The study describes many concrete

methodological proposals and recommendations, reflected in practice

in manuals and implemented programs.