Russian Mathematics Education

5

Problem Solving

The basis on which the studies in this section are grouped together and

isolated from the rest is also somewhat artificial: problem solving may

be considered one of the principal themes of all of Russian research.

In one way or another, it is mentioned in virtually every paper on

mathematics education. Prior to the period discussed here, many books

appeared that were wholly devoted to problems and the theory of

solving them (such as Friedman, 1977; Kolyagin, 1977; Metel’sky,

1975; Stolyar, 1974). Problems have been studied from the most varied

angles: several systems have been proposed for classifying problems; a

notion of problem “complexity” (as an aspect of the problem itself)

has been defined; the “difficulty” of a problem has been quantified

as a psychological–pedagogical characteristic (for example, as inversely

proportional to the number of students who have solved the problem);

and the psychological, informational, and structural components of

problem solving have been identified (Krupich, 1992). These and

other aspects of research concerned with the phenomenon of school

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch10

On Mathematics Education Research in Russia

423

problems and their history have been discussed in Zaikin and Ariutkina

(2007) and Shagilova (2007).

Some time ago, Sarantsev (1995) studied a concept that, in his

terminology, was narrower than a problem: the exercise (“a problem

is an exercise if it results directly in the acquisition of new knowledge,

skills, and abilities” (p. 17), according to his definition). He regards

exercises as the effective vehicles of learning and proposes structuring

the whole education system on exercises. Exercises, according to

him, constitute a means of efficacious and goal-directed student

development (pp. 11–13).

The structure of exercise sets has been studied by Grudenov (1990).

In particular, he focuses on the contradictions inherent in using

exercises of the same type: stable skills cannot be formed without them,

yet their use leads to diminished interest. He sees the solution in the

combined use of a variety of different teaching principles.

The findings of recent studies in the area of problem solving

are described in the proceedings of a special conference devoted to

problems (Testov, 2007).

As for dissertation research, Krupich (1992) aims at “developing

a theoretical basis for teaching school-level mathematics problem

solving” (p. 5). The key words for this study are probably “systemic,”

“cohesive,” and “structural.” Krupich views the problem as a complex

structure or, more precisely, as a conjunction of two structures: an

external structure, i.e. the problem’s actual conditions and the infor-

mation given; and an internal structure, which includes the problem’s

substantive characteristics (including its difficulty). The structural unit

of the learning process, according to him, is the “instructional problem

with a three-part structure: the problem itself, the students’ cognitive

contribution, and the didactic technique used by the teacher” (p. 15).

Krupich analyzes existing textbooks and finds that the problem sets

in them are incomplete, not hierarchically structured in terms of their

difficulty, and so on. (He precisely defines and elaborates on all of

these concepts in his study.) Furthermore, he also proposes his own

classification of problem-solving techniques.

Ryzhik (1993) also addresses what the system of problems con-

tained in a school textbook should look like. His conception includes

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch10

424

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

the principle that the system of problems must be interconnected with

(1) the environment (for example, it must take into account social

needs, the state of the various sciences, etc.); (2) the theoretical material

in the textbook; (3) the teacher (for example, by allowing individual

teachers to select what they need); and (4) the student (for example,

by providing for the development of each student). In fleshing out

these principles, Ryzhik proposes several requirements or objectives

for the system of problems contained in the school problem book

on geometry, beginning with the objective of having the problem

book reflect contemporary views of geometry, and continuing with

the objective of forming foundations for research-oriented activity and

invention, as well as the objective of giving students material that

corresponds to their development at any given point and material that

can facilitate their further development. In formulating his theoretical

position, he relies on his experience as the author of numerous

textbooks.

Voron’ko’s (2005) aim is to research students’ investigative activity

in the process of mathematics education, to which end she studies

students’ problem-solving activity. Identifying what she considers to

be the basic types of investigative activity developed in the process

of mathematics education (such as posing problems and formulating

hypotheses), she demonstrates how they may be developed using prob-

lems. Consequently, considerable attention is devoted to classifying

problems and to discussing specific types of problems.