Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

dealing with elementary trigonometric equations and inequalities. The

test contains 10 problems in all.

1. Solve the equation cos 0

.5x = −1.

(a)

x = 3π + 4πn, n ∈ Z;

(c)

x = π + 2πn, n ∈ Z;

(b)

x = 2π + 4πn, n ∈ Z;

(d)

x = 0, 5π + 0, 5πn, n ∈ Z.

10. Solve the inequality sin

x > cos x. In your answer, indicate the

sum of the natural numbers that are less than 10 and satisfy the

given inequality.

(a) 17;

(b) 30;

(c) 6;

(d) 23.

The author established the following criteria for grading: a five for

9–10 correct answers; a four for 7–8; a three for 5–6; and a two for 4

and fewer. He recommended giving students one-and-a-half hours —

two combined classes — to complete the test. However, the advisability

of devoting two class periods to this work is open to doubt, because a

good student will complete the given assignments in approximately 30

minutes while a weak student might never complete them at all, if only

because problems that involve trigonometric inequalities go beyond

the bounds of the standard public school curriculum.

Let us turn to examples of more difficult multiple-choice tests in

geometry (plane geometry) for students in grades 7–9 in classes with

an advanced course of study in mathematics (Zvavich and Potoskuev,

2006a, 2006b, 2006c). The book in which these tests appeared

contained subject tests, survey tests, and summary tests. Each of them

consisted of 16–17 problems in plane geometry and each was meant

to be completed in 40–45 minutes. The authors recommended giving

two fives for 16 correct answers, one five for 14–15 answers, a four for

12–13 answers, and a three for 9–11 answers. They also considered an

alternative grading method, in which students would receive two points

for every correct answer, have one point deducted from their total for

every wrong answer, and be given no points if they left the answer

to a question blank. With this approach, the scores would range from

−16 to 32. Such a grading method is likely to eliminate meaningless

guesswork, but in our view it is too complicated for both students and

teachers. Below are three problems from a subject test devoted to the

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch08

Assessment in Mathematics in Russian Schools

335

Pythagorean theorem (note that problem 15 is marked with an asterisk,

indicating a higher level of difficulty).

1. The points

K, M, T , and P are located on sides AB, BC, CD,

and AD of the square ABCD, respectively, in such a way that

AK

= 3, KB = 5, and BM = CT = DP = 3. Find the area of

the quadrilateral KMTP.

(1) 34;

(2) 36;

(3) 49;

(4) 53;

(5) 16.

14. Find the distance from the center of a circle with radius 4 to any

chord of the circle of length 4.

(1) 3

√

2

;

(2) 2

√

3

;

(3) 2;

(4) 3;

(5) 1.

15

∗

. The diagonal of a right trapezoid divides this trapezoid into two

right isosceles triangles. Find the length of the center line of this

trapezoid if the length of its diagonal is equal to 2

√

2

(Fig. 1).

(1) 1;

(2) 2;

(3) 3;

(4) 4;

(5) 5.

As can be seen, these problems are sufficiently traditional for an

in-depth Russian school course in plane geometry. Thanks to the

multiple-choice format, many of the usual requirements are eliminated

(explanation and substantiation, mathematically exact notation, the

construction of an exact diagram, etc.). Students who have completed

a large number of these demanding problems within the allotted

time should hardly be suspected of having assimilated this material

in a merely formal and superficial manner, and they should hardly be

required to demonstrate their understanding by indicating all of the

theorems on which they relied in solving these problems. At the same

time, of course, it is much easier to correct and grade such tests than

the more traditional variety.

Fig. 1.

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch08

336