Russian Mathematics Education

3.3

Mathematics Circles and Electives

in Grades 10–11

Although we lack any firm statistical evidence, we would nonetheless

argue that mathematics circles and electives in higher grades of

ordinary schools are devoted mainly to solving difficult school-style

problems (naturally, there are exceptions). Those students of ordinary

schools who wish to enter colleges with more selective programs in

mathematics, search for opportunities to prepare better for exams

(traditionally, each college had its own entrance exams; now they have

been replaced by a standard exam for the entire country — the USE).

According to our observations, various manuals for preparing for the

USE have become an important source for such preparation literally

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

392

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

in the last few years (such as Semenov, 2008). Consider the following

problem as an example:

Among all the integers that do not constitute solutions to the

inequality (10

4x

−9

− 1)(3

5x

−21

− 1) ≥ 0, find the integer that is the

least distance from the set of solutions to this inequality. (Semenov,

2008, p. 69)

The solution of this somewhat artificial, although not difficult,

problem requires solving an exponential inequality, defining the inte-

gers that do not belong to the corresponding set, grasping the very

notion of the distance from a number to a set, and finally comparing

numbers (fractions). Clearly, such an exercise requires a good bit

of time.

Examining the content of school electives in higher grades, we

must mention two books, Sharygin (1989) and Sharygin and Golubev

(1991), which brought together many difficult problems from the

entire range of school mathematics, thus making these problems

accessible to teachers of school electives. The problems in these books

were often organized and classified in terms of the methods used for

solving them. As a result, the books were not simple. But they came to

exert an evident influence on many subsequent publications. Consider

the following example of a relatively easy problem from these texts:

Given a right triangle ABC with legs AC

= 3 and BC = 4 and two

points M and K, such that MK

= 8, AM = 1, and BK = 2, find the

area of triangle CMK. (Sharygin, 1989, p. 167)

This problem is offered as an illustration of the notion that in a

geometric problem it is important to identify the distinctive features

of the figure that is given, and, in particular, the role of the numbers

given. Indeed, once we start to draw the figure, we notice that

MK

− AM − BK = 5 = BC.

This means that the points M and K lie on the straight line

←→

AB . Since

it is given that MK

= 8, all that remains to be done is to find the length

of the altitude from the vertex C to the straight line

←→

AB , which is not

difficult at all. The length of the altitude equals

12

5

, and the area we

seek equals

48

5

.

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

Extracurricular Work in Mathematics

393