Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

oral tests would be conducted by the teacher, and then these students

“conducted oral tests” with their classmates. Such an approach was

sufficiently dangerous, since the student conducting a test could turn

out to be someone who mechanically learned material by rote and had

no flexibility as a questioner. In such cases, an oral test could only be

harmful. On the other hand, students from higher grades were not

always able to “come down” to the level of a lower grade. Thus, for

example, if a tenth grade student familiar with derivatives had to test an

eighth grade student on the topic of the “quadratic function” and the

eighth grader had to complete the square in order to find the vertex of

a parabola, the tenth grader, instead of questioning the eighth grader,

might begin explaining to the student how this could be done using

derivatives. Another shortcoming of oral tests of this kind stemmed,

naturally, from the distinctive character of the relationships between

students in the same school and, even more so, within the same class.

The objective of the oral test was also important. If, for example, the

objective was to test how well ninth graders knew all the formulas of

“school trigonometry” (without deriving them), i.e. if the assignment

ruled out any ambiguities and was easy to grade, then students from a

higher grade could handle the responsibility of administering it quite

well. (In Soviet schools, and to a certain extent in Russian schools

today as well, students were not permitted to use any reference books,

notes, tables, calculators, etc., while taking tests. All formulas must be

retained in memory.)

As an example, let us consider two different kinds of oral tests

for a 10th-grade course on three-dimensional geometry. A final oral

test, for instance, may confine itself to testing how well students have

assimilated the course’s basic theorems [the textbook by and Zvavich

(2003) contains 35 such theorems]. For preparation, students are given

a list of all of the course’s theorems in the order in which they were

studied. If in order to pass a given oral test a student must demonstrate

the ability to formulate any formula on this list, make a diagram for

it, write down what is given in the theorem and what must be proven,

then it is perfectly feasible to let the oral test be conducted by 11th

graders who have taken a similar course a year earlier. Such a test

would be useful both to the 10th graders taking it and to the 11th

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch08

Assessment in Mathematics in Russian Schools

361

graders administering it. On the other hand, if the purpose of the test

is to test the students’ ability to prove these theorems, to test how

deeply they have grasped them, then it is much more advisable to

let professional teachers conduct it, since such a test would demand

of the individual administering it not only sound knowledge but also

flexibility of thought.

The same reasoning may be applied to a thematic oral test: if the

purpose of the test is essentially to check how well the students repro-

duce what they have learned (formulations, definitions, formulas), then

it may be entrusted to 11th graders. However, if its aim is a deeper

assessment, then the oral test ought to be conducted by the teacher,

his or her colleagues or former graduates. As an example of the content

of such a thematic oral test, consider the test conducted by one of the

authors of this chapter for students at the beginning of 10th grade. This

test included several topics studied at the beginning of the course in

three-dimensional geometry — parallel projection, parallel planes, the

angle between two planes, distance in space — as well as review sections

on “quadrilaterals,” a topic studied in eighth grade. To prepare for the

test, students received assignment cards that would be used to conduct

the test. Each assignment card contained two theoretical questions and

two problems. Different approaches are possible here: the theoretical

part, naturally, must be revealed to the students in advance, but the

problems may be revealed either in advance (and thus used to test not

how well the students solve problems, but how well they can explain

their solutions) or on the test itself. The contents of one such card are

reproduced below:

1. Parallel projection. The properties of parallel projection. Orthog-

onal projection and its properties.

2. The properties of a parallelogram.

3. Let the point

K divide side AA

1

of the cube ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

into two segments that stand in a relation of 2:1 beginning from

A. Through the point K, trace a section of the cube that is parallel

to the plane

A

1

C

1

D, and construct an orthogonal projection of

this section onto the face ABCD.

4. The bisector of angle

A of the parallelogram ABCD has divided

its side BC in a relation of 3:7 beginning from

B. Find the area

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch08

362

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

of the parallelogram if its perimeter is 1 m and one of its angles is

twice as large as another.

To conclude this section, we should note that for convenience of

discussion we are simplifying somewhat the variety of techniques and

formats that are employed for conducting survey tests. In reality, such

tests often make use of a combination of oral and written formats.

For example, first a number of students (six or seven) may be asked

to prove some basic theorems; while they are preparing their answers

on the blackboard, the teacher may ask the other students to provide

various definitions, give various kinds of examples, solve oral problems,

and so forth (in other words, give them assignments that they can do

quickly). After the presentation of the proofs and the discussion of

the students’ answers, which constitute the main part of the test, all

of the students may be asked to prove some theorems or solve some

problems in written form. Such a format, of course, is less effective than

a full-blown oral test for assessing (and stimulating) the development

of students’ ability to express themselves orally, but it can nonetheless

serve this purpose. It can also be organized with relative ease by a

single teacher within the span of two class periods (90 minutes) and

sometimes even one class period.