Russian Mathematics Education

5.4

On Textbooks for Schools with an Advanced

Course of Study in Mathematics

Highly selective schools can hardly expect to rely on textbooks

published on a mass scale — the users of such textbooks would simply

be too few in number. Up to a certain moment, schools with an

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

Schools with an Advanced Course in Mathematics and Humanities

301

advanced course of study in mathematics made do with their own

handwritten materials (recall that even simple photocopying was very

complicated in the Soviet Union). Along with materials that were

dictated, copied by hand, or in exceptional cases photocopied, schools

relied on college textbooks and problem books as well as handbooks

for extracurricular work. The problem books and handbooks writ-

ten at that time were sometimes published later, although not as

texts for specialized schools (Bashmakov et al., 2004; Sivashinsky,

1971), but as books and problem books for those interested in

mathematics.

Special textbooks started appearing later, when the number of

specialized schools increased. They included the textbooks of Vilenkin

et al. (1972) and Vilenkin and Shvartsburd (1973). The latter, for

example, was published in a comparatively large edition of 100,000

copies (textbooks for ordinary schools, however, were reissued every

year in substantially greater numbers). Vilenkin and Shvartsburd

(1973) included such chapters as:

• Real numbers

• Numerical sequences and limits

• Functions

• Derivatives

• Trigonometric functions

• Power, exponential, and logarithmic functions

• Elementary functions; transcendental equations and inequalities

• Integrals

• Series

In other words, the textbook included chapters from ordinary text-

books plus several special chapters.

It is difficult for us to judge how extensively these textbooks were

used. We can be certain that for some schools these textbooks turned

out to be too difficult and theoretical — for example, series were

not taught in all schools, nor did students everywhere have such

a sound grasp of, for example, the construction of the set of real

numbers. For some schools, these textbooks were, on the contrary, not

sufficiently proof-laden and deep. In addition, many schools adhered

to the principle that teachers had to develop the theoretical part of

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

302

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

the course on their own (naturally, relying on existing manuals), while

problems would be gathered from different sources, including these

textbooks.

The repeatedly reissued textbooks of Vilenkin, Ivashev-Musatov,

and Shvartsburd (1995a, 1995b), even though their authors included

the authors of the textbooks discussed above, were considerably

different. In the first place, they were thinner: many topics and many

assertions had disappeared (such as series). The textbooks came closer

to the ordinary school curriculum. For good reason, a note in the first

of them explicitly stated:

The present volume is intended for a more thorough study of the

10th-grade course in mathematics in secondary schools, both for

independent use and for use in classes at schools with a theoretically

and practically advanced course in mathematics and its applications.

(Vilenkin et al., 1995a, p. 2)

One distinctive feature of this textbook was that it first discussed

the limit of a function as the variable goes to infinity; then, as a special

case, the limit of a sequence; and only then the limit of a function at a

point.

Let us also mention the recently published textbook by Pratusevich,

Stolbov, and Golovin (2009), written by teachers from St. Petersburg,

including teachers from one of the oldest and most famous schools in

the country — St. Petersburg’s school No. 239. Its authors, however,

describe its intended audience as follows:

The textbook is intended for classes with an advanced level of

mathematics education, in which no fewer than four hours per week

are allocated for the study of algebra and elementary calculus. (p. 2)

In some mathematics schools, it should be noted, a substantially

greater amount of time is allocated for the study of these subjects

(for example, 6–7 hours). The textbook’s authors explain that “certain

sections have been deliberately left out (for example, the construction

of a rigorous theory of real numbers), which mainly ‘set the requisite

rigorous tone’ for the course in mathematics, but introduce no

new tools for solving problems” (p. 408). The 10th-grade textbook

contains the following chapters: Introduction (devoted to elementary

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

Schools with an Advanced Course in Mathematics and Humanities

303

logic and set theory); Integers (this chapter deals with congruences,

prime numbers, and so on); Polynomials; Functions: Basic Concepts;

Roots, Powers, Logarithms (notably, the authors confine their explana-

tion of how one should understand irrational exponents by discussing

an example, without offering a general definition); Trigonometry; and

the Limit of a Sequence.

With regard to geometry textbooks, the first that must be men-

tioned is the textbook by Alexandrov, Werner, and Ryzhik (2006a,

2006b) for the upper grades of schools with an advanced course of

study in mathematics, which was written in the early 1980s and has

remained in use to this day. This textbook includes such chapters

as “Transformations” or “Modern Geometry and the Theory of

Relativity,” while other chapters contain sections devoted to regular

and semiregular polyhedra, spherical geometry, supporting planes, and

other topics not studied in ordinary school.

Without attempting to characterize (or even mention) all of the

currently existing textbooks (including textbooks for grades 8–9,

which we are unable to discuss here, but which are published both

as special books and as supplementary chapters to ordinary textbooks),

we will just mention the relatively recently published textbook in

geometry for higher grades by Potoskuev and Zvavich (2006, 2008),

which is written from a somewhat different perspective than the

textbook of Alexandrov et al., and endows the course with additional

depth while attempting to use simple and accessible language and

approaches and, perhaps above all, using a thought-out system of

difficult problems.

Generally, it seems to us that if writing a wide-audience textbook for

classes with an advanced course of study in mathematics is an almost

unsolvable problem because such schools are now simply too varied,

then matters are easier with problem books since the teacher uses

several books in any case and their diversity only helps the teacher. In

addition to the problem books already cited, including Galitsky et al.

(1997) and Zvavich et al. (1994), let us mention such problem books

for upper grades as Galitsky, Moshkovich, and Shvartsburd (1986) or

Karp (2006). By now, however, it is almost impossible to list all of the

problem books that are currently in use.

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

304

Russian Mathematics Education: Programs and Practices