Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

by relying on the completely proven properties of the quadratic

trinomial and of inequalities. Such an elementary investigation of

functions (in grades 8–9) allows students to concentrate precisely on

the meaning of the concepts they are studying, rather than on the

technique of using derivatives. The following problems may serve as

examples:

• Find the range of the function y = 3x − x

2

.

• Prove that the function y = x

3

− 3x is increasing on the interval

[1, +∞).

• Find the minimum of the function y =

√

4

x

2

− 12x + 9 − 2.

(Galitsky, Goldman, and Zvavich, 1997, pp. 101–103)

To solve, for example, the first of these problems, it is enough to

note that the range of the function is the totality of those

y for which

the quadratic equation

x

2

− 3x + y = 0 is solvable; the range can,

therefore, be found easily by writing the condition of the nonnegativity

of the discriminant of this equation, 9

− 4y ≥ 0, from which we see

that the range is the interval



−∞, 2

1

4



. Note that it is not sufficient

to indicate that this function attains its maximum at

x =

3

2

(which

is easy to determine by completing the square). It must be proven

that the function attains all values that are less than the value of the

function at

x =

3

2

(and students in grades 8–9 do not yet have the

concept of continuity or limit). Discussing such topics helps students

to understand more deeply what exactly is being proven, what exactly

this or that concept consists of, what role definitions play, and so on.

The elementary investigation of functions can also touch on more

complicated issues, such as convexity. Moreover, it may be connected

with constructing graphs through geometric transformations. Once

again, the ordinary school curriculum assumes that students will learn

that, say, the graph of the function

y = x

2

+ 1 may be obtained from

the graph of the function

y = x

2

by means of a parallel translation

upward along the

y-axis by one unit. In classes with an advanced course

of study in mathematics, students discuss far more intricate examples

of both graphs and transformations (Karp, 1992). Note that simply

constructing the graph of the function

y =

1

f(x)

by transforming the

graph of the function

y = f(x), which is a relatively simple operation,

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Schools with an Advanced Course in Mathematics and Humanities

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opens up the possibility not only of appreciating the diversity of the

transformations of the plane, but also of developing a “feel” for certain

concepts (for example, the concept of the infinitely large value), which

will subsequently be studied in courses in calculus.

Geometry offers many examples of such topics — topics that are not

part of the college curriculum, but not entirely part of the ordinary

school curriculum either. Lyapin (1967) described how students at

a specialized school studied the geometry of transformations while

solving construction problems [such courses were undoubtedly influ-

enced by the books of Yaglom (1955, 1956)]. Other examples of

topics studied in specialized schools include (Atanasyan et al., 1996)

inversion with respect to a circle, the classic theorems of elementary

geometry (such as Simpson’s or Euler’s line theorems), and theorems

about the collinearity of points and the concurrency of lines (Ceva,

Menelaus, etc.).

The list of such topics, which lie, as it were, between ordinary

schools and college, can be extended at length, but students at

specialized schools also study a third category of topics that must be

mentioned: traditional topics from the school course in mathematics.

Their study of these topics differs from what goes on in ordinary

schools — first, because it is more proof-laden and systematic, and

second, because it includes more substantive and difficult problems.

It is clear, for example, that the presentation of the topic “Logarith-

mic and Exponential Functions” confronts the difficulty of defining a

real power and of proving the continuity of the power, logarithmic,

and exponential functions — a difficulty that is insurmountable in

ordinary schools. Students in specialized schools possess a sufficient

background to understand the essence of the problems that arise,

and sufficient knowledge and techniques to overcome them with the

teacher’s guidance. It turns out, therefore, that the study of this topic in

specialized schools unfolds in a completely different fashion from how

this happens in ordinary schools. We will not discuss how this topic may

be studied, however, but rather focus on the role that problems play.

In Russia, a tradition has evolved of writing and solving difficult

problems on topics from the standard school course in mathematics.

College entrance exams (traditionally conducted by each college

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