Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

separately), as well as graduation exams for specialized schools, have

always been important sources of new problems, replenishing the

stock of existing problems (currently, both college entrance exams

and graduation exams have given way to the Uniform State Exam).

Formally, these problems can be solved by any graduate of any ordinary

school — in the sense that no special knowledge is required to solve

them. Often, these problems can and even should be criticized for their

artificiality and cumbersomeness (e.g. Bashmakov, 2010b). At the same

time, not infrequently they contain substantive and beautiful ideas.

Admittedly, we are simplifying the situation somewhat when we

speak about three sources of topics for schools with an advanced course

in mathematics — traditional school topics, college mathematics, and

topics “between the two” that are not typical of either schools or

colleges. It is not always possible to make such precise distinctions,

and in particular certain techniques for solving traditional school

problems have effectively evolved into special topics themselves, which

are studied in specialized schools and not in ordinary schools (this

automatically places graduates of ordinary schools at a disadvantage on

exams, notwithstanding any rhetoric that one or another problem may

formally be solved by anyone).

Problems involving parameters have become an example of such

a special topic or, more precisely, a running theme of the course in

mathematics for specialized schools. Consider the following example

of such a problem:

For what values of the parameter

a is there no value of x that

simultaneously satisfies the inequalities

x

2

− ax < 0 and ax > 1?

(Galitsky et al., 1997, p. 100)

The solution of the problem indeed does not require any special

knowledge. It is sufficient to examine three cases. For

a > 0, the

solution to the first inequality is the interval

(0, a), while the solution

to the second inequality is the interval



1

a

, +∞



. They do not intersect

if

1

a

≥ a, which, given that a > 0, implies that 0 < a ≤ 1. Reasoning

in an absolutely analogous fashion for

a < 0, we obtain −1 ≤ a < 0.

It remains to be seen that

a = 0 obviously works, since in this case

each of the inequalities simply has no solutions. The final answer is

−1 ≤ a ≤ 1.

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

Schools with an Advanced Course in Mathematics and Humanities

299

Despite its technical simplicity, this problem is not so easy: it requires

a certain use of logic and an ability to break down a problem into

different cases and to examine them carefully. Naturally, experience in

solving such problems helps students on exams and at the same time is

beneficial to student development (again, if the concentration on this

topic does not become excessive).

However, one can also give examples of many difficult and substan-

tive problems that do not belong to a separate section. Such problems

may be found in virtually any part of the school curriculum. Numerous

problems also admit different solutions and solutions based on different

parts of the course. Consider the following example:

Determine the maximum of the expression 3

x + 4y, if x

2

+ y

2

= 25.

(For example, Zvavich et al., 1994, p. 78)

Of course, this problem can be solved using differential calculus:

it is sufficient to note that the maximum of the given expression is

evidently attained when the values of

x and y are nonnegative; then one

can express, say,

y in terms of x using the given equality, substitute it in

the expression 3

x + 4y, and determine the maximum of the obtained

expression with one variable using the standard algorithm.

The problem may be solved using far more elementary methods,

however. One can, for example, see that since the expression

16

x

2

− 24xy + 9y

2

is a perfect square and therefore nonnegative for all values of

x and

y, (3x + 4y)

2

≤ 25x

2

+ 25y

2

. From this, it immediately follows that

3

x + 4y ≤ 25 (and the fact that equality is achieved is obvious, since it

is achieved in the original inequality, 16

x

2

− 24xy + 9y

2

≥ 0).

Another solution may be obtained by writing the equality

3

x + 4y = k (k is what is to be maximized),

expressing, say,

y in terms of k and x, and substituting it in the equality

x

2

+ y

2

= 25. It remains for one to find the greatest k for which the

obtained quadratic equation has a solution.

An unexpected solution can be obtained using vectors. Indeed,

consider the vectors (

x, y) and (3, 4). The expression 3x + 4y is

obviously a scalar product of these vectors. But the scalar product of

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

300

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

vectors, as we know, does not exceed the product of their lengths (but

can be equal to this product). The length of one vector is



x

2

+ y

2

=

√

25

= 5, and the length of the other is

√

3

2

+ 4

2

=

√

25

= 5, which

yields that the maximum is 25.

Interested readers may also find a purely geometric solution

by investigating the behavior of secants and tangents to the circle

x

2

+ y

2

= 25, a trigonometric solution, and others as well.

To repeat, practice in solving difficult school problems is in

our view extremely beneficial to the mathematical development of

schoolchildren. It would be fair to say that all three of the approaches

to selecting topics for study listed above are implemented in one form

or another in every specialized school. It is another matter that the

relation between them is by no means always identical. Today, in certain

schools, already noted, teachers mainly give their students difficult

school problems, sometimes forgetting that probably nothing can

take the place of the experience of building a theory by constructing

arguments and proofs (or building a theory by solving problems)

and of working with difficult concepts not associated with school

mathematics. Conversely, in some schools, students concentrate on

mathematics that is not part of the ordinary curriculum, sometimes

losing the connection with school mathematics and hurrying exces-

sively, in our view, to move on to abstract and generalized concepts

for which they are too young. The optimal relation between, and the

optimal selection of, topics for study are determined first and foremost

by the makeup of the student body. There are a variety of ways in

which students can develop the “techniques of mathematical thinking”

and be enriched by the experience of working with new, deeper ideas

and concepts; what is important, however, is that educators set such

objectives.